Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor compreender a teoria.
© Se an>0, forall n, e lim n infty raizn an=1, então a série sumn=1^infty an diverge.

Passo 1

O enunciado trata de séries numéricas no contexto de testes de convergência. Temos uma sequência positiva an>0 tal que limntoinftyraizn,an=1, e queremos decidir se a série sumn=1^infty an diverge ou converge.

Passo 2

Para aplicar um teste de comparação, escolhemos a série-p de referência sum bn com bn=1/raizn. Sabemos que sumn=1^infty bn é uma p-série com p=1/2, e como p<=1, ela diverge.

Passo 3

Usamos o teste da comparação por limite (limit comparison test): como ambas as séries têm termos positivos, consideramos
limntoinftyanbn=limntoinftyanraizn=1
O limite é finito e estritamente positivo ( L=1). Pelo teste da comparação por limite, sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Como sum bn diverge, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

Verdadeiro

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