Determine
,
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x|x| $ e precisa encontrar as derivadas primeira ($ f’
f’’
f’’’ $). Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente lidando com o valor absoluto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função $ f(x) = x|x| $. O valor absoluto
muda dependendo de $ x $ ser positivo ou negativo. Então, vamos reescrever $ f(x) $ de duas formas:
-
Se $ x \geq 0 $:
-
Se $ x < 0 $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada ($ f’ $) em cada caso.
-
Para $ x > 0 $:
-
Para $ x < 0 $:
Passo 4
Precisamos conferir o que acontece em $ x = 0 $. Vamos ver os limites da derivada à direita e à esquerda:
-
Pela direita ($ x \to 0^+ $):
-
Pela esquerda ($ x \to 0^- $):
Como os limites são iguais, concluímos que $ f’(0) = 0 $. Então, a primeira derivada fica:
Passo 5
Vamos agora encontrar a segunda derivada ($ f’’ $). Derivamos $ f’(x) $ em cada intervalo.
-
Para $ x > 0 $:
-
Para $ x < 0 $:
Passo 6
Verificamos a segunda derivada em $ x = 0 $:
-
Pela direita ($ x \to 0^+ $):
-
Pela esquerda ($ x \to 0^- $):
Os limites são diferentes, então $ f’’(0) $ não existe. Assim, a segunda derivada fica:
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a terceira derivada ($ f’’’ $). Derivamos $ f’’(x) $:
-
Para $ x > 0 $:
-
Para $ x < 0 $:
Passo 8
Analisando em $ x = 0 $, já que $ f’’(x) $ não existe nesse ponto, a terceira derivada $ f’’’(x) $ também não existe em $ x = 0 $. Portanto, temos:
Resposta
As derivadas da função $ f(x) = x|x| $ são: