Determine f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime: f(x)=x|x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x|x| $ e precisa encontrar as derivadas primeira ($ f’ f(x) = x|x| f’’ f' f’’’ $). Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente lidando com o valor absoluto f'' .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função $ f(x) = x|x| $. O valor absoluto f(x) = x|x| muda dependendo de $ x $ ser positivo ou negativo. Então, vamos reescrever $ f(x) $ de duas formas:
  • Se $ x \geq 0 $:
    |x|
  • Se $ x < 0 $:
    x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada ($ f’ $) em cada caso.
  • Para $ x > 0 $:
    f'
  • Para $ x < 0 $:
    x > 0

Passo 4

Precisamos conferir o que acontece em $ x = 0 $. Vamos ver os limites da derivada à direita e à esquerda:
  • Pela direita ($ x \to 0^+ $):
    x = 0
  • Pela esquerda ($ x \to 0^- $):
    x to 0^+
Como os limites são iguais, concluímos que $ f’(0) = 0 $. Então, a primeira derivada fica:
f'(0^+) = 2 cdot 0 = 0

Passo 5

Vamos agora encontrar a segunda derivada ($ f’’ $). Derivamos $ f’(x) $ em cada intervalo.
  • Para $ x > 0 $:
    f''
  • Para $ x < 0 $:
    f'(x)

Passo 6

Verificamos a segunda derivada em $ x = 0 $:
  • Pela direita ($ x \to 0^+ $):
    x = 0
  • Pela esquerda ($ x \to 0^- $):
    x to 0^+
Os limites são diferentes, então $ f’’(0) $ não existe. Assim, a segunda derivada fica:
f''(0^+) = 2

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a terceira derivada ($ f’’’ $). Derivamos $ f’’(x) $:
  • Para $ x > 0 $:
    f'''
  • Para $ x < 0 $:
    f''(x)

Passo 8

Analisando em $ x = 0 $, já que $ f’’(x) $ não existe nesse ponto, a terceira derivada $ f’’’(x) $ também não existe em $ x = 0 $. Portanto, temos:
x = 0

Resposta

As derivadas da função $ f(x) = x|x| $ são:
f(x) = x|x|
f'(x) = 2x & se x >= 0, -2x & se x < 0,
f''(x) = 2 & se x > 0, -2 & se x < 0,

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