Em cada caso, determine os pontos ordinários e singulares (regular ou irregular) para cada EDO.
a) (
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a) (
b)
c)
d)
e)
Passo 1
A ideia geral é escrever cada EDO na forma a₂(x)y’’+a₁(x)y’+a₀(x)y=0, definir P(x)=a₁(x)/a₂(x) e Q(x)=a₀(x)/a₂(x) e então: singular quando a₂(x₀)=0 e ordinário caso contrário; singular regular em x₀ se (x−x₀)P(x) e (x−x₀)²Q(x) são analíticos em x₀, caso contrário é irregular.
Passo 2
Para cada item veremos a₂(x), encontraremos seus zeros (pontos singulares), descreveremos o conjunto de pontos ordinários e, em cada singular x₀, verificaremos a regularidade via (x−x₀)P(x) e (x−x₀)²Q(x).
Passo 3
Item a) temos
logo zeros em x=±1 e pontos ordinários em x\inℝ{−1,1}.
Calculamos
Passo 4
Em x₀=1:
Passo 5
ambos analíticos em x=1. O mesmo raciocínio vale para x₀=−1. Portanto x=±1 são singulares regulares.
Passo 6
Item b) temos
zero duplo em x=1, e ordinários x≠1.
Passo 7
Em x₀=1:
Passo 8
analíticos em x=1. Logo x=1 é singular regular.
Passo 9
Item c) temos
zero simples em x=1, ordinários x≠1.
Passo 10
Em x₀=1:
Passo 11
ambos analíticos em x=1. Logo singular regular.
Passo 12
Item d) temos
zero duplo em x=0, ordinários x≠0.
Passo 13
Em x₀=0:
Passo 14
analíticos em 0. Logo singular regular.
Passo 15
Item e) temos
que nunca zera em ℝ, então todos os x são ordinários e não há pontos singulares.
Resposta
a) Ordinários: x≠±1; Singulares x=±1 regulares.
b) Ordinários: x≠1; Singular x=1 regular.
c) Ordinários: x≠1; Singular x=1 regular.
d) Ordinários: x≠0; Singular x=0 regular.
e) Todos ordinários (x²+1≠0), sem singulares.
b) Ordinários: x≠1; Singular x=1 regular.
c) Ordinários: x≠1; Singular x=1 regular.
d) Ordinários: x≠0; Singular x=0 regular.
e) Todos ordinários (x²+1≠0), sem singulares.