Em cada caso, determine os pontos ordinários e singulares (regular ou irregular) para cada EDO.
a) ( x^2-1) y^prime prime+2 x y^prime+6 y=0;
b) (x-1)^2 y^prime prime+(x^2-1) y^prime+(x-1)^2 y=0;
c) (x-1) y^prime prime+(x^2-1) y^prime+(x-1)^2 y=0;
d) x^2 y^prime prime+x^2 y^prime+x(x-1) y=0;
e) (x^2+1) y^prime prime+y=0.

Passo 1

A ideia geral é escrever cada EDO na forma a₂(x)y’’+a₁(x)y’+a₀(x)y=0, definir P(x)=a₁(x)/a₂(x) e Q(x)=a₀(x)/a₂(x) e então: singular quando a₂(x₀)=0 e ordinário caso contrário; singular regular em x₀ se (x−x₀)P(x) e (x−x₀)²Q(x) são analíticos em x₀, caso contrário é irregular.

Passo 2

Para cada item veremos a₂(x), encontraremos seus zeros (pontos singulares), descreveremos o conjunto de pontos ordinários e, em cada singular x₀, verificaremos a regularidade via (x−x₀)P(x) e (x−x₀)²Q(x).

Passo 3

Item a) temos
a₂(x)=x^2-1,
logo zeros em x=±1 e pontos ordinários em x\inℝ{−1,1}.
Calculamos
P(x)=2xx^2-1, Q(x)=6x^2-1

Passo 4

Em x₀=1:
(x-1)P(x)=2xx+1, (x-1)^2Q(x)=6x+1,

Passo 5

ambos analíticos em x=1. O mesmo raciocínio vale para x₀=−1. Portanto x=±1 são singulares regulares.

Passo 6

Item b) temos
a₂(x)=(x-1)^2,
zero duplo em x=1, e ordinários x≠1.
P(x)=x^2-1(x-1)^2, Q(x)=1

Passo 7

Em x₀=1:
(x-1)P(x)=x^2-1x-1=x+1, (x-1)^2Q(x)=(x-1)^2,

Passo 8

analíticos em x=1. Logo x=1 é singular regular.

Passo 9

Item c) temos
a₂(x)=x-1,
zero simples em x=1, ordinários x≠1.
P(x)=x^2-1x-1=x+1, Q(x)=(x-1)^2x-1=x-1

Passo 10

Em x₀=1:
(x-1)P(x)=x^2-1, (x-1)^2Q(x)=(x-1)^3,

Passo 11

ambos analíticos em x=1. Logo singular regular.

Passo 12

Item d) temos
a₂(x)=x^2,
zero duplo em x=0, ordinários x≠0.
P(x)=x^2x^2=1, Q(x)=x(x-1)x^2=x-1x

Passo 13

Em x₀=0:
xP(x)=x, x^2Q(x)=x(x-1),

Passo 14

analíticos em 0. Logo singular regular.

Passo 15

Item e) temos
a₂(x)=x^2+1,
que nunca zera em ℝ, então todos os x são ordinários e não há pontos singulares.

Resposta

a) Ordinários: x≠±1; Singulares x=±1 regulares.
b) Ordinários: x≠1; Singular x=1 regular.
c) Ordinários: x≠1; Singular x=1 regular.
d) Ordinários: x≠0; Singular x=0 regular.
e) Todos ordinários (x²+1≠0), sem singulares.

Exercícios relacionados