Resolva as seguintes EDOs para x in(-1,1).
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+20 y=0;

Passo 1

A equação dada é
(1-x²) y’’ - 2x y’ + 20 y = 0
ela pertence à família das equações de Legendre, cujo formato padrão é
(1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n + 1) y = 0
Precisamos identificar qual valor de n faz n(n+1)=20 para usar as funções de Legendre como solução.

Passo 2

Comparando n(n+1)=20 obtemos a equação quadrática
n^2 + n - 20 = 0
Resolvendo-a:
n = -1 pm raiz1 + 802 = -1 pm 92
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n1 = 4, n2 = -5

Passo 3

Para n=4 a solução finita (polinomial) é o polinômio de Legendre de ordem 4, denotado P4(x). A segunda solução independente, não polinomial, pode ser dada pela função de Legendre do segundo tipo Q4(x).
Portanto, a solução geral da equação em (-1,1) é dada por uma combinação linear dessas duas funções de Legendre:
y(x) = C1 P4(x) + C2 Q4(x)

Resposta

y(x) = C_{1} P_{4}(x) + C_{2} Q_{4}(x)

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