Resolva as seguintes EDOs para
.
;
Passo 1
A equação dada é
(1-x²) y’’ - 2x y’ + 20 y = 0
ela pertence à família das equações de Legendre, cujo formato padrão é
(1-x²) y’’ - 2x y’ + 20 y = 0
ela pertence à família das equações de Legendre, cujo formato padrão é
Precisamos identificar qual valor de
faz
para usar as funções de Legendre como solução.
Passo 2
Comparando
obtemos a equação quadrática
Resolvendo-a:
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Passo 3
Para
a solução finita (polinomial) é o polinômio de Legendre de ordem 4, denotado
. A segunda solução independente, não polinomial, pode ser dada pela função de Legendre do segundo tipo
.
Portanto, a solução geral da equação em é dada por uma combinação linear dessas duas funções de Legendre:
Portanto, a solução geral da equação em
Resposta
y(x) = C_{1} P_{4}(x) + C_{2} Q_{4}(x)