Mostre que x=0 é uma ponto singular regular para E D O :
3 x y^prime prime+y^prime-y=0
e determine uma solução via séries de potências.

Passo 1

Temos a EDO 3x y’’ + y’ – y = 0 e queremos mostrar que x=0 é um ponto singular regular e obter uma solução por séries (método de Frobenius). Vamos precisar reescrever a equação em forma padrão e usar a expansão y=∑a_n x^{n+r}.

Passo 2

Colocando em forma padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0, dividimos por 3x:
y'' + 13xy' - 13xy = 0 Aqui p(x)=1/(3x) e q(x)= -1/(3x). Verificamos x=0:
x p(x)=x3x=13, x^2q(x)=x^2l(-13xr)=- x3 Ambas são analíticas em x=0, logo é ponto singular regular.

Passo 3

Para aplicar Frobenius, usamos a indicial r(r-1)+p0r+q0=0, em que
p0=limxto0x p(x)=tfrac13, q0=limxto0x^2q(x)=0 Assim
r(r-1)+tfrac13r=0implies rl(r-tfrac23r)=0, dando as raízes r_1=0 e r_2=2/3.

Passo 4

Substituindo y=∑_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} em 3x y’’+y’-y=0 e agrupando termos obtemos para n≥1
$$3a_n(n+r)(n+r-1)+a_n(n+r)-a_{n-1}=0
\implies a_n=\frac{a_{n-1}}{(n+r)(3n+3r-2)}.$$

Passo 5

Para r=0 (série analítica) ficа:
a_n=a_{n-1}/[n(3n-2)], com a_0 arbitrário, gerando
y1=1 + x + x^28 + x^3168+cdots
Para r=2/3 temos
a_n=a_{n-1}/[(n+2/3)(3n+2)], gerando
[y_2=x^{2/3}\Bigl(1 + \tfrac{x}{5} + \tfrac{x^2}{80}+\cdots\Bigr).

Resposta

A solução geral em torno de x=0 é
y(x)=C1l(1 + x + tfracx^28 + tfracx^3168 + cdotsr) + C2,x^2/3l(1 + tfracx5 + tfracx^280 + cdotsr)

Exercícios relacionados