Mostre que
é uma ponto singular regular para
:
e determine uma solução via séries de potências.
Passo 1
Temos a EDO 3x y’’ + y’ – y = 0 e queremos mostrar que x=0 é um ponto singular regular e obter uma solução por séries (método de Frobenius). Vamos precisar reescrever a equação em forma padrão e usar a expansão y=∑a_n x^{n+r}.
Passo 2
Colocando em forma padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0, dividimos por 3x:
Passo 3
Para aplicar Frobenius, usamos a indicial
, em que
Passo 4
Substituindo y=∑_{n=0}^\infty a_n x^{n+r} em 3x y’’+y’-y=0 e agrupando termos obtemos para n≥1
$$3a_n(n+r)(n+r-1)+a_n(n+r)-a_{n-1}=0
\implies a_n=\frac{a_{n-1}}{(n+r)(3n+3r-2)}.$$
Passo 5
Para r=0 (série analítica) ficа:
a_n=a_{n-1}/[n(3n-2)], com a_0 arbitrário, gerando
a_n=a_{n-1}/[n(3n-2)], com a_0 arbitrário, gerando
Para r=2/3 temos
a_n=a_{n-1}/[(n+2/3)(3n+2)], gerando
[y_2=x^{2/3}\Bigl(1 + \tfrac{x}{5} + \tfrac{x^2}{80}+\cdots\Bigr).
Resposta
A solução geral em torno de x=0 é