Justifique sua resposta.
O ponto x=1 é um ponto ordinário da EDO: (x^2+1) y^prime prime+x y^prime-y=0 ?

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem do tipo P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0. Aqui temos P(x)=x^2+1, Q(x)=x e R(x)=-1. O ponto ordinário é aquele onde, ao escrever na forma normal, os coeficientes divididos por P(x) são funções analíticas em torno do ponto.

Passo 2

Para olhar o ponto x=1, primeiro colocamos a equação na forma normal, dividindo tudo por x^2+1:
y''+xx^2+1,y'-1x^2+1,y=0

Passo 3

Assim, os coeficientes da forma normal são p(x)=xx^2+1 e q(x)=-1x^2+1. Uma vez que x^2+1 não se anula em x=1, ambos p(x) e q(x) são funções analíticas num entorno de x=1.
Como em x=1 temos x^2+1=2neq0, não há singularidades nos coeficientes na forma normal, logo x=1 é um ponto ordinário.

Resposta

Sim. O ponto x=1 é ordinário porque ao passar para a forma normal os coeficientes p(x) e q(x) permanecem analíticos em torno de x=1, já que x^2+1 não zera nessa posição.

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