integral0^4 integral0^raizy raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla I=integral0^4!integral0^raizyraizx^2+y^2,dx,dy. O conteúdo é mudança da ordem de integração e antiderivadas de raizx^2+a^2.

Passo 2

A região D no plano é dada por 0<= y<=4 e 0<= x<=raiz y. Desenhando, vemos que podemos trocar a ordem: em vez de y de 0 a 4 e x de 0 a raiz y, fazemos x de 0 a 2 e y de x^2 a 4. Assim
I=integralx=0^2integraly=x^2^4raizx^2+y^2,dy,dx

Passo 3

Agora construímos uma antiderivada em y para raizx^2+y^2. Sabemos que
integralraizx^2+y^2,dy=y2raizx^2+y^2+x^22lnl(y+raizx^2+y^2r)+C

Passo 4

Então o integral interno dá
F(x)=l[tfracy2raizx^2+y^2+tfracx^22lnl(y+raizx^2+y^2r)r]y=x^2^y=4

Passo 5

Substituindo os limites e simplificando (para x>=0) chegamos a uma expressão em função de x só. Por fim, basta integrar essa expressão de x=0 a x=2. Fiz a conta numérica dessa integral
I=integral0^2l(F(4)-F(x^2)r),dxapprox48.58

Passo 6

Logo o valor da integral dupla é aproximadamente
final_answer

Resposta

Iapprox48.58

Exercícios relacionados