A vida de baterias automotivas é normalmente distribuída com desvio padrão de 4,5 meses. Uma amostra de 8 baterias foi coletada e os resultados estão mostrados a seguir:
Bateria
1
2
3
4
5
6
7
8
Vida (meses)
24
23
18
20
19
21
25
24
a) Determine um intervalo de confiança de
para a vida média dessa bateria com os dados dessa amostra.
b) Se quisermos que a amplitude do IC seja de, no máximo, 3 meses, qual deve ser o tamanho da amostra?
| Bateria | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Vida (meses) | 24 | 23 | 18 | 20 | 19 | 21 | 25 | 24 |
b) Se quisermos que a amplitude do IC seja de, no máximo, 3 meses, qual deve ser o tamanho da amostra?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular um intervalo de confiança de
para a vida média da bateria usando os dados da amostra. - Determinar o tamanho da amostra necessário para que a amplitude do intervalo de confiança seja, no máximo,
meses.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
Observação que vou usar: ao dizer “amplitude do IC”, vou interpretar como a largura total do intervalo. Assim, se a largura total deve ser
, a semiextensão (meio da largura) será
. Seguirei essa interpretação ao calcular o tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a média amostral
. A média é a soma dos valores dividida por
:
Calculemos a soma:
Logo
Passo 3
Agora a teoria necessária para construir o intervalo de confiança:
- Quando a distribuição da população é normal e o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média com nível de confiança é dado por
Expliquei cada termo:
-
é a média da amostra (já calculada). -
é o desvio padrão populacional (dado no enunciado). -
é o tamanho da amostra. -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que . Para de confiança temos e . O valor crítico correspondente é (valor tabelado da normal padrão). - O termo
é a semiextensão (metade da amplitude) do intervalo, também chamada de margem de erro.
Como
é conhecido e a população é normal, o uso da constante
é apropriado (não usamos
porque o
é usado quando
é desconhecido).
Passo 4
Calculemos a semiextensão (margem de erro) numérica:
Calcule
:
Agora
Multiplicando por
:
Passo 5
Construindo o intervalo de confiança:
Portanto os extremos são
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais, o intervalo de confiança de
é aproximadamente
Passo 6
Agora a parte (b): tamanho da amostra para que a amplitude total do IC seja, no máximo,
meses.
- Definição e fórmula: se a amplitude total desejada é
, a semiextensão (margem) é . Como já explicado
Isolando
,
Usando
(amplitude total) temos
. Mantemos o mesmo nível de confiança
, então
e
.
Passo 7
Calculando
:
Note que
, então
O tamanho da amostra deve ser um número inteiro e, para garantir que a amplitude seja no máximo
, precisamos arredondar para cima (sempre arredonda-se para o inteiro imediatamente superior quando se trata de tamanho de amostra). Assim
Resposta
Tamanho da amostra necessário (amplitude