A vida de baterias automotivas é normalmente distribuída com desvio padrão de 4,5 meses. Uma amostra de 8 baterias foi coletada e os resultados estão mostrados a seguir:
Bateria 1 2 3 4 5 6 7 8
Vida (meses) 24 23 18 20 19 21 25 24
a) Determine um intervalo de confiança de 90 \% para a vida média dessa bateria com os dados dessa amostra.
b) Se quisermos que a amplitude do IC seja de, no máximo, 3 meses, qual deve ser o tamanho da amostra?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular um intervalo de confiança de 90\% para a vida média da bateria usando os dados da amostra.
  2. Determinar o tamanho da amostra necessário para que a amplitude do intervalo de confiança seja, no máximo, 3 meses.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
\text{Valores: } 24,\;23,\;18,\;20,\;19,\;21,\;25,\;24
\text{Tamanho da amostra: } n=8
\text{Desvio padrão populacional (dado): } \sigma=4{,}5ã
Observação que vou usar: ao dizer “amplitude do IC”, vou interpretar como a largura total do intervalo. Assim, se a largura total deve ser 3, a semiextensão (meio da largura) será 1{,}5. Seguirei essa interpretação ao calcular o tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a média amostral \bar{x}. A média é a soma dos valores dividida por n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Calculemos a soma:
\sum_{i=1}^{8} x_i = 24+23+18+20+19+21+25+24 = 174
Logo
\bar{x}=\frac{174}{8}=21{,}75

Passo 3

Agora a teoria necessária para construir o intervalo de confiança:
  • Quando a distribuição da população é normal e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada termo:
  • \bar{x} é a média da amostra (já calculada).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (dado no enunciado).
  • n é o tamanho da amostra.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2. Para 90\% de confiança temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. O valor crítico correspondente é z_{0{,}05}=1{,}645 (valor tabelado da normal padrão).
  • O termo \displaystyle z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} é a semiextensão (metade da amplitude) do intervalo, também chamada de margem de erro.
Como \sigma é conhecido e a população é normal, o uso da constante z é apropriado (não usamos t porque o t é usado quando \sigma é desconhecido).

Passo 4

Calculemos a semiextensão (margem de erro) numérica:
\text{margem} = z_{0{,}05}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}645\cdot\frac{4{,}5}{\sqrt{8}}.
Calcule \sqrt{8}:
\sqrt{8}\approx 2{,}828427.
Agora
\frac{4{,}5}{\sqrt{8}}\approx \frac{4{,}5}{2{,}828427}\approx 1{,}59099.
Multiplicando por 1{,}645:
\text{margem}\approx 1{,}645\cdot 1{,}59099 \approx 2{,}6175.

Passo 5

Construindo o intervalo de confiança:
\bar{x}\pm \text{margem} = 21{,}75 \pm 2{,}6175.
Portanto os extremos são
\text{limite inferior} = 21{,}75 - 2{,}6175 \approx 19{,}1325,
\text{limite superior} = 21{,}75 + 2{,}6175 \approx 24{,}3675.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais, o intervalo de confiança de 90\% é aproximadamente
(19{,}13,\;24{,}37).

Passo 6

Agora a parte (b): tamanho da amostra para que a amplitude total do IC seja, no máximo, 3 meses.
  • Definição e fórmula: se a amplitude total desejada é A, a semiextensão (margem) é E=\dfrac{A}{2}. Como já explicado
E = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando n,
\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\quad\Rightarrow\quad n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Usando A=3 (amplitude total) temos E=\dfrac{3}{2}=1{,}5. Mantemos o mesmo nível de confiança 90\%, então z_{0{,}05}=1{,}645 e \sigma=4{,}5.

Passo 7

Calculando n:
n = \left(\frac{1{,}645\cdot 4{,}5}{1{,}5}\right)^2.
Note que \dfrac{4{,}5}{1{,}5}=3, então
n = (1{,}645\cdot 3)^2 = (4{,}935)^2 \approx 24{,}3522.
O tamanho da amostra deve ser um número inteiro e, para garantir que a amplitude seja no máximo 3, precisamos arredondar para cima (sempre arredonda-se para o inteiro imediatamente superior quando se trata de tamanho de amostra). Assim
n=25.

Resposta

90\% IC para a média: (19{,}13,\;24{,}37)
Tamanho da amostra necessário (amplitude \le 3 meses): n=25

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