(1) (6.0) Em cada caso, determine os 5 primeiros termos da sequência e, em seguida, determine se a sequência converge ou diverge: a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{2n+1}
e pede duas coisas: (1) determinar os cinco primeiros termos da sequência (ou seja, a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}); (2) dizer se a sequência converge ou diverge. As informações relevantes que temos são a expressão da sequência para n inteiro positivo e a definição de fatorial (veremos isso no próximo passo).
Passo 2
Lembra do que é fatorial: para um inteiro positivo m, \;m! é o produto de todos os inteiros de 1 até m:
m! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots m.
Usaremos isso para calcular cada termo. Vamos calcular passo a passo os cinco primeiros termos substituindo n=1,2,3,4,5 na fórmula \;a_{n}=\dfrac{(2n-1)!}{2n+1}.
Agora vamos estudar o comportamento da sequência quando n\to\infty. Primeiro, observe que todos os termos são positivos (fatorial é positivo e 2n+1>0), então a sequência é de termos positivos. Para ver se converge, é útil comparar com algo que conhecemos ou obter uma desigualdade que mostre crescimento.
Uma observação simples e poderosa: em (2n-1)! estão os fatores \;n,\;n+1,\dots,2n-1. Há exatamente n desses fatores e cada um é maior ou igual a n. Logo
(2n-1)!\;=\;1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot \underbrace{n\cdot (n+1)\cdots(2n-1)}_{\text{produto de }n\text{ fatores }\ge n} \;\ge\; n\cdot n\cdots n \;=\; n^{n}.
Portanto obtemos a desigualdade abaixo, válida para todo n\ge 1:
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{2n+1}\ge \frac{n^{n}}{2n+1}.
Passo 9
Vamos analisar o limite da parte direita. Considere b_{n}=\dfrac{n^{n}}{2n+1}. Tire o logaritmo (isso ajuda a ver o crescimento): \ln b_{n}=n\ln n - \ln(2n+1). Quando n\to\infty, temos n\ln n\to\infty (pois \ln n cresce, ainda que devagar, e é multiplicado por n), enquanto \ln(2n+1) cresce só como \ln n. Logo \ln b_{n}\to\infty, o que implica b_{n}\to\infty. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2n+1}=+\infty.
Passo 10
Como a_{n}\ge b_{n} para todo n e b_{n}\to+\infty, pelo princípio de comparação temos que a_{n}\to+\infty também. Em linguagem direta: os termos a_{n} crescem sem limite, portanto a sequência diverge para +\infty.
(Outra maneira — não necessária aqui — seria olhar a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{2n(2n+1)^{2}}{2n+3}, que cresce como 4n^{2} e vai para +\infty, mostrando que os termos crescem muito rápido; isso reforça a conclusão.)
Resposta
\dfrac{1}{3},\;\dfrac{6}{5},\;\dfrac{120}{7},\;560,\;\dfrac{362880}{11}\nDiverge (vai para +\infty).