1. (1) (6.0) Em cada caso, determine os 5 primeiros termos da sequência e, em seguida, determine se a sequência converge ou diverge:
    a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{2n+1}
e pede duas coisas: (1) determinar os cinco primeiros termos da sequência (ou seja, a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}); (2) dizer se a sequência converge ou diverge. As informações relevantes que temos são a expressão da sequência para n inteiro positivo e a definição de fatorial (veremos isso no próximo passo).

Passo 2

Lembra do que é fatorial: para um inteiro positivo m, \;m! é o produto de todos os inteiros de 1 até m:
m! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots m.
Usaremos isso para calcular cada termo. Vamos calcular passo a passo os cinco primeiros termos substituindo n=1,2,3,4,5 na fórmula \;a_{n}=\dfrac{(2n-1)!}{2n+1}.

Passo 3

Cálculo de a_{1}:
a_{1}=\frac{(2\cdot 1-1)!}{2\cdot 1+1}=\frac{1!}{3}=\frac{1}{3}.
Expliquei: (2\cdot 1-1)!=1! e 1!=1.

Passo 4

Cálculo de a_{2}:
a_{2}=\frac{(2\cdot 2-1)!}{2\cdot 2+1}=\frac{3!}{5}=\frac{6}{5}.
Expliquei: 3!=1\cdot2\cdot3=6.

Passo 5

Cálculo de a_{3}:
a_{3}=\frac{(2\cdot 3-1)!}{2\cdot 3+1}=\frac{5!}{7}=\frac{120}{7}.
Expliquei: 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120.

Passo 6

Cálculo de a_{4}:
a_{4}=\frac{(2\cdot 4-1)!}{2\cdot 4+1}=\frac{7!}{9}=\frac{5040}{9}=560.
Expliquei: 7!=5040 e 5040\div 9=560.

Passo 7

Cálculo de a_{5}:
a_{5}=\frac{(2\cdot 5-1)!}{2\cdot 5+1}=\frac{9!}{11}=\frac{362880}{11}.
Expliquei: 9!=362880.

Passo 8

Agora vamos estudar o comportamento da sequência quando n\to\infty. Primeiro, observe que todos os termos são positivos (fatorial é positivo e 2n+1>0), então a sequência é de termos positivos. Para ver se converge, é útil comparar com algo que conhecemos ou obter uma desigualdade que mostre crescimento.
Uma observação simples e poderosa: em (2n-1)! estão os fatores \;n,\;n+1,\dots,2n-1. Há exatamente n desses fatores e cada um é maior ou igual a n. Logo
(2n-1)!\;=\;1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot \underbrace{n\cdot (n+1)\cdots(2n-1)}_{\text{produto de }n\text{ fatores }\ge n} \;\ge\; n\cdot n\cdots n \;=\; n^{n}.
Portanto obtemos a desigualdade abaixo, válida para todo n\ge 1:
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{2n+1}\ge \frac{n^{n}}{2n+1}.

Passo 9

Vamos analisar o limite da parte direita. Considere b_{n}=\dfrac{n^{n}}{2n+1}. Tire o logaritmo (isso ajuda a ver o crescimento): \ln b_{n}=n\ln n - \ln(2n+1). Quando n\to\infty, temos n\ln n\to\infty (pois \ln n cresce, ainda que devagar, e é multiplicado por n), enquanto \ln(2n+1) cresce só como \ln n. Logo \ln b_{n}\to\infty, o que implica b_{n}\to\infty. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}}{2n+1}=+\infty.

Passo 10

Como a_{n}\ge b_{n} para todo n e b_{n}\to+\infty, pelo princípio de comparação temos que a_{n}\to+\infty também. Em linguagem direta: os termos a_{n} crescem sem limite, portanto a sequência diverge para +\infty.
(Outra maneira — não necessária aqui — seria olhar a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{2n(2n+1)^{2}}{2n+3}, que cresce como 4n^{2} e vai para +\infty, mostrando que os termos crescem muito rápido; isso reforça a conclusão.)

Resposta

\dfrac{1}{3},\;\dfrac{6}{5},\;\dfrac{120}{7},\;560,\;\dfrac{362880}{11}\nDiverge (vai para +\infty).

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