Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede a raiz
-ésima principal de
com
(ou seja, a raiz quadrada principal). Além disso é pedido posicionar as raízes em uma circunferência centrada na origem.
Informações dadas:
- O número complexo é
. - Queremos a raiz quadrada principal
tal que . - Precisamos também localizar todas as raízes na circunferência apropriada (raio e posições angulares).
Passo 2
Estratégia (fórmula e ideia, passo a passo):
- Para achar raízes
-ésimas de um complexo, é muito útil usar a forma polar. Qualquer complexo pode ser escrito como
onde
é o módulo e
é o argumento principal (tomado em
).
- As
raízes de são dadas por
- A raiz n-ésima principal corresponde a
usando o argumento principal .
Vou aplicar isso com.
Passo 3
Calcular o módulo
de
:
Logo o módulo das raízes (cada raiz) será
Passo 4
Calcular o argumento
de
.
- Como a parte real é positiva e a imaginária também positiva, o argumento principal está em
e
- Observando o triângulo
- - vemos que
Passo 5
Usar fórmulas de meia-ângulo para obter
e
.
As fórmulas (quando está em
, então seno e cosseno são positivos) são
As fórmulas (quando
Substituindo
:
Passo 6
Calcular a raiz quadrada principal
(caso
):
Simplificando:
Verificação rápida (útil na prova):
, confere.
Passo 7
Encontrar a outra raiz (já que
, há duas raízes): para
,
Assim as duas raízes são
e
.
Posicionamento na circunferência:
- Ambas têm módulo
, logo estão sobre a circunferência centrada na origem de raio , ou seja a circunferência . - As posições angulares são
(para ) e (para ). Numericamente .
Resposta
As raízes são
e
, ambas situadas na circunferência
centrada na origem.