Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(3+4 i)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede a raiz n-ésima principal de 3+4i com n=2 (ou seja, a raiz quadrada principal). Além disso é pedido posicionar as raízes em uma circunferência centrada na origem.
Informações dadas:
  • O número complexo é z=3+4i.
  • Queremos a raiz quadrada principal w tal que w^2=z.
  • Precisamos também localizar todas as raízes na circunferência apropriada (raio e posições angulares).

Passo 2

Estratégia (fórmula e ideia, passo a passo):
  • Para achar raízes n-ésimas de um complexo, é muito útil usar a forma polar. Qualquer complexo z pode ser escrito como
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)=r\,\mathrm{cis}(\theta),
onde r=|z| é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento principal (tomado em (-\pi,\pi]).
  • As n raízes de z são dadas por
w_k = r^{1/n}\,\mathrm{cis}\!\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right),\qquad k=0,1,\dots,n-1.
  • A raiz n-ésima principal corresponde a k=0 usando o argumento principal \theta.
    Vou aplicar isso com n=2.

Passo 3

Calcular o módulo r de z=3+4i:
r=|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo o módulo das raízes (cada raiz) será
r^{1/2}=5^{1/2}=\sqrt{5}.

Passo 4

Calcular o argumento \theta de z.
  • Como a parte real é positiva e a imaginária também positiva, o argumento principal está em (0,\tfrac{\pi}{2}) e
\theta=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right).
  • Observando o triângulo 3- 4- 5 vemos que
\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}.

Passo 5

Usar fórmulas de meia-ângulo para obter \cos(\theta/2) e \sin(\theta/2).
As fórmulas (quando \theta/2 está em (0,\tfrac{\pi}{4}), então seno e cosseno são positivos) são
\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}},\qquad \sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}.
Substituindo \cos\theta=\tfrac{3}{5}:
\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\tfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\tfrac{8}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}},
\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\tfrac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\tfrac{2}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Calcular a raiz quadrada principal w_0 (caso k=0):
w_0 = r^{1/2}\bigl(\cos(\theta/2)+i\sin(\theta/2)\bigr) = \sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}+i\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Simplificando:
w_0 = 2 + i.
Verificação rápida (útil na prova): (2+i)^2 = 4+4i+i^2=3+4i, confere.

Passo 7

Encontrar a outra raiz (já que n=2, há duas raízes): para k=1,
w_1 = r^{1/2}\,\mathrm{cis}\!\left(\frac{\theta+2\pi}{2}\right) = r^{1/2}\,\mathrm{cis}\!\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right) = -w_0 = -2-i.
Assim as duas raízes são 2+i e -2-i.
Posicionamento na circunferência:
  • Ambas têm módulo \sqrt{5}, logo estão sobre a circunferência centrada na origem de raio \sqrt{5}, ou seja a circunferência \{z\in\mathbb{C}:|z|=\sqrt{5}\}.
  • As posições angulares são \theta/2=\tfrac{1}{2}\arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right) (para 2+i) e \theta/2+\pi (para -2-i). Numericamente \theta/2\approx0{,}46365\\ \text{rad}\approx26{,}565^\circ.

Resposta

w=2+i
As raízes são 2+i e -2-i, ambas situadas na circunferência |z|=\sqrt{5} centrada na origem.

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