Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(i)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas para o caso \,(i)^{1/2}\,:
  • Determinar a raiz 2-ésima principal w de i.
  • Posicionar todas as raízes (ou seja, as duas raízes quadradas de i) numa circunferência centrada na origem.
Informações dadas:
  • O número complexo é i (ímpar de Euler), cujo módulo e argumento precisamos identificar para calcular raízes.

Passo 2

Colocar i na forma polar (módulo e argumento).
Explicação útil: qualquer número complexo não nulo pode ser escrito como
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)=r e^{i\theta},
onde r=|z| é o módulo (distância ao origem) e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo). Para i:
  • O módulo é |i|=1, porque i está a uma unidade da origem.
  • Um argumento conveniente é \theta=\dfrac{\pi}{2}, pois i está no eixo imaginário positivo.
Logo, escrevemos
i = 1\cdot e^{i\pi/2}.

Passo 3

Apresentar a fórmula geral para as n-ésimas raízes.
Se z=r e^{i\theta} e se procuramos as raízes w tais que w^n=z, então escrevendo w=\rho e^{i\varphi} obtém-se
\rho^n = r \quad\text{e}\quad n\varphi = \theta + 2\pi k,
onde k é um inteiro. Daí
\rho = r^{1/n},\qquad \varphi = \frac{\theta + 2\pi k}{n},
com k=0,1,\dots,n-1 produzindo todas as n raízes distintas.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • r é o módulo de z.
  • \theta é um argumento de z.
  • n é a ordem da raiz (aqui n=2).
  • k indexa as diferentes raízes possíveis.
  • \rho e \varphi são módulo e argumento da raiz w.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso z=i com n=2.
Temos r=1 e \theta=\dfrac{\pi}{2}. Assim
\rho = 1^{1/2}=1.
Os argumentos das raízes são
\phi_k = \frac{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k=0,1.
Portanto as duas raízes são
w_0 = e^{i\pi/4}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}},
w_1 = e^{i5\pi/4}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{i}{\sqrt{2}}=\frac{-1-i}{\sqrt{2}}.
Comentário didático: w_1 é simplesmente -w_0, o que é típico para raízes quadradas de um número com módulo 1: as duas raízes estão diametralmente opostas na circunferência de raio \rho.

Passo 5

Escolher a raiz principal e posicionar as raízes na circunferência.
Definição prática de raiz principal usada aqui: tomar o k igual a 0, isto é a raiz com argumento \phi_0 na faixa principal (argumento dividido por n). Assim a raiz principal é
w=\;w_0=\frac{1+i}{\sqrt{2}}.
Posicionamento: como \rho=1, ambas as raízes estão na circunferência de raio 1 centrada na origem. Os ângulos (medidos a partir do eixo real positivo) são
\phi_0=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad \phi_1=\frac{5\pi}{4},
ou seja, uma raiz em \pi/4 (primeiro quadrante) e a outra em 5\pi/4 (terceiro quadrante), diametralmente opostas.

Resposta

w=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}
As duas raízes estão na circunferência de raio 1 centrada na origem, nos argumentos \dfrac{\pi}{4} e \dfrac{5\pi}{4}.

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