Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas para o caso
:
- Determinar a raiz
-ésima principal de . - Posicionar todas as raízes (ou seja, as duas raízes quadradas de
) numa circunferência centrada na origem.
Informações dadas:
- O número complexo é
(ímpar de Euler), cujo módulo e argumento precisamos identificar para calcular raízes.
Passo 2
Colocar
na forma polar (módulo e argumento).
Explicação útil: qualquer número complexo não nulo pode ser escrito como
onde
é o módulo (distância ao origem) e
é o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo). Para
:
- O módulo é
, porque está a uma unidade da origem. - Um argumento conveniente é
, pois está no eixo imaginário positivo.
Logo, escrevemos
Passo 3
Apresentar a fórmula geral para as
-ésimas raízes.
Se
e se procuramos as raízes
tais que
, então escrevendo
obtém-se
onde
é um inteiro. Daí
com
produzindo todas as
raízes distintas.
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é o módulo de . -
é um argumento de . -
é a ordem da raiz (aqui ). -
indexa as diferentes raízes possíveis. -
e são módulo e argumento da raiz .
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso
com
.
Temos
e
. Assim
Os argumentos das raízes são
Portanto as duas raízes são
Comentário didático:
é simplesmente
, o que é típico para raízes quadradas de um número com módulo
: as duas raízes estão diametralmente opostas na circunferência de raio
.
Passo 5
Escolher a raiz principal e posicionar as raízes na circunferência.
Definição prática de raiz principal usada aqui: tomar o
igual a
, isto é a raiz com argumento
na faixa principal (argumento dividido por
). Assim a raiz principal é
Posicionamento: como
, ambas as raízes estão na circunferência de raio
centrada na origem. Os ângulos (medidos a partir do eixo real positivo) são
ou seja, uma raiz em
(primeiro quadrante) e a outra em
(terceiro quadrante), diametralmente opostas.
Resposta
As duas raízes estão na circunferência de raio