Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a raiz
-ésima principal de . - Posicionar as raízes (todas as quatro) em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Informações dadas:
- O número complexo é
. - Queremos raízes de ordem
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em forma polar
. Para isso calculamos o módulo
e um argumento
(usando a função
para respeitar o quadrante).
Cálculo do módulo:
Cálculo do argumento
: o ponto
está no terceiro quadrante (ambos negativos). A tangente do ângulo de referência vale
portanto a referência é
. Assim o argumento principal (no intervalo
) é
pois
e
, e multiplicando por
recupera
.
Portanto
Passo 3
Agora lembro a fórmula geral das raízes
-ésimas de um complexo em forma polar:
Aqui
é o módulo de
,
é um argumento qualquer de
(usamos o principal),
é a ordem da raiz, e
indexa as diferentes raízes.
Passo 4
Aplicando com
,
e
:
A raiz
-ésima principal normalmente corresponde a
, ou seja, ao argumento dividido por
sem adicionar
.
Passo 5
Calculamos a raiz principal
com
:
Então
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Agora calculemos explicitamente as quatro raízes (para posicioná-las na circunferência). Para
os ângulos
são:
-
: (=-30°). -
: (=60°). -
: (=150°). -
: (=240°).
As raízes são então
Passo 7
Interpretação geométrica (posição na circunferência):
- Todas as quatro raízes têm módulo
. Logo elas estão sobre a circunferência centrada na origem de raio . - Os argumentos das raízes estão espaçados uniformemente por
(90°). Os ângulos (em ordem) são .
Resposta
As quatro raízes (todas com módulo
) são: