Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(-1-\sqrt{3} i)^{1 / 4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a raiz 4-ésima principal w de -1-\sqrt{3}\,i.
  • Posicionar as raízes (todas as quatro) em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Informações dadas:
  • O número complexo é z = -1-\sqrt{3}\,i.
  • Queremos raízes de ordem n=4.

Passo 2

Primeiro vamos escrever z em forma polar z = r(\cos\theta + i\sin\theta). Para isso calculamos o módulo r e um argumento \theta (usando a função \operatorname{atan2} para respeitar o quadrante).
Cálculo do módulo:
r = |z| = \sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Cálculo do argumento \theta: o ponto (x,y)=(-1,-\sqrt{3}) está no terceiro quadrante (ambos negativos). A tangente do ângulo de referência vale
\tan\varphi = \frac{|y|}{|x|}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},
portanto a referência é \varphi=\pi/3. Assim o argumento principal (no intervalo (-\pi,\pi]) é
\theta = -\frac{2\pi}{3}
pois \cos(-2\pi/3)=-\tfrac{1}{2} e \sin(-2\pi/3)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, e multiplicando por r=2 recupera (-1,-\sqrt{3}).
Portanto
z = 2\big(\cos(-2\pi/3)+i\sin(-2\pi/3)\big).

Passo 3

Agora lembro a fórmula geral das raízes n-ésimas de um complexo em forma polar:
\text{Se } z = r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big), \text{ então as raízes } w_k \text{ são}ãíã
w_k = r^{1/n}\Big(\cos\!\big(\tfrac{\theta+2\pi k}{n}\big)+i\sin\!\big(\tfrac{\theta+2\pi k}{n}\big)\Big), \qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui r é o módulo de z, \theta é um argumento qualquer de z (usamos o principal), n é a ordem da raiz, e k indexa as diferentes raízes.

Passo 4

Aplicando com r=2, \theta=-\tfrac{2\pi}{3} e n=4:
w_k = 2^{1/4}\Big(\cos\!\big(\tfrac{-2\pi/3+2\pi k}{4}\big)+i\sin\!\big(\tfrac{-2\pi/3+2\pi k}{4}\big)\Big), \qquad k=0,1,2,3.
A raiz 4-ésima principal normalmente corresponde a k=0, ou seja, ao argumento dividido por 4 sem adicionar 2\pi.

Passo 5

Calculamos a raiz principal w=w_0 com k=0:
\text{ângulo: }\quad \frac{\theta}{4}=\frac{-2\pi/3}{4}=-\frac{\pi}{6}.â
Então
w = 2^{1/4}\big(\cos(-\tfrac{\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\big).
Usando \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{1}{2}, obtemos
w = 2^{1/4}\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-i\tfrac{1}{2}\Big) = \frac{2^{1/4}}{2}\,(\sqrt{3}-i) =2^{-3/4}(\sqrt{3}-i).

Passo 6

Agora calculemos explicitamente as quatro raízes (para posicioná-las na circunferência). Para k=0,1,2,3 os ângulos \phi_k=\tfrac{-2\pi/3+2\pi k}{4} são:
  • k=0: \phi_0=-\tfrac{\pi}{6} (=-30°).
  • k=1: \phi_1=\pi/3 (=60°).
  • k=2: \phi_2=5\pi/6 (=150°).
  • k=3: \phi_3=4\pi/3 (=240°).
As raízes são então
\begin{aligned} w_0 &= 2^{1/4}\big(\cos(-\tfrac{\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\big) =2^{1/4}\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-i\tfrac{1}{2}\big)=2^{-3/4}(\sqrt{3}-i),\\[4pt] w_1 &= 2^{1/4}\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\big) =2^{1/4}\big(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=2^{-3/4}(1+i\sqrt{3}),\\[4pt] w_2 &= 2^{1/4}\big(\cos\tfrac{5\pi}{6}+i\sin\tfrac{5\pi}{6}\big) =2^{1/4}\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}+i\tfrac{1}{2}\big)=2^{-3/4}(-\sqrt{3}+i),\\[4pt] w_3 &= 2^{1/4}\big(\cos\tfrac{4\pi}{3}+i\sin\tfrac{4\pi}{3}\big) =2^{1/4}\big(-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=2^{-3/4}(-1-i\sqrt{3}). \end{aligned}]

Passo 7

Interpretação geométrica (posição na circunferência):
  • Todas as quatro raízes têm módulo 2^{1/4}. Logo elas estão sobre a circunferência centrada na origem de raio 2^{1/4}.
  • Os argumentos das raízes estão espaçados uniformemente por \tfrac{2\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2} (90°). Os ângulos (em ordem) são -\tfrac{\pi}{6},\\ \tfrac{\pi}{3},\\ \tfrac{5\pi}{6},\\ \tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

w=\;2^{1/4}\Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\Big)=2^{-3/4}(\sqrt{3}-i)
As quatro raízes (todas com módulo 2^{1/4}) são:
w_0=2^{-3/4}(\sqrt{3}-i)
w_1=2^{-3/4}(1+i\sqrt{3})
w_2=2^{-3/4}(-\sqrt{3}+i)
w_3=2^{-3/4}(-1-i\sqrt{3})

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