Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies:
-
(um cilindro parabólico paralelo ao eixo ); - os planos
e ; - o plano
;
e o enunciado diz que estamos no primeiro octante (ou seja,, , ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície superior do sólido é
. - O sólido é limitado inferiormente por
. - Em
o sólido fica entre e . - O primeiro octante impõe
. - Para existir
deve valer , o que dá uma restrição em (veremos isso adiante).
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (aquela “aula rápida” que ajuda na prova):
- Volume de um corpo
pode ser calculado como a integral tripla da função sobre a região ocupada pelo sólido:
- Em prática, para sólidos com superfícies bem descritas, usamos integrais iteradas (Fubini): escolhemos uma ordem de integração conveniente e escrevemos
onde cada função de limite tem o sentido óbvio:
e
são as superfícies inferior e superior em
, e
e
vêm da projeção da região no plano
.
- Aqui as variáveis são
; é o elemento de volume; e integrar significa “somar” fatias de volume infinitesimais.
Passo 3
Determinar a projeção da região no plano
e os limites para
e
:
- Do plano
até temos já que . - Para
: como o sólido está entre e , precisamos de . Resolve-se
- Mas no primeiro octante temos
. Assim o intervalo de é
- Observação prática: a equação
não depende de , portanto a projeção no plano é um retângulo simples:
Passo 4
Montar a integral iterada para o volume, escolhendo a ordem
(conveniente porque
tem limites simples):
Explicação: o integrando é
porque estamos somando volumes de fatias. O limite superior em
é
(da superfície dada) e o limite inferior em
é
. Os limites em
e
vêm do Passo 3.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Ou seja, para cada par
a espessura vertical do sólido é
.
Passo 6
Agora integrar em
:
Calcule passo a passo:
- Avaliando em
: . - Avaliando em
: . - Subtraindo:
.
Portanto a integração em
dá
; isto é a área da seção transversal (área projetada vezes altura) para cada
.
Passo 7
Por fim integrar em
(a dependência em
já desapareceu, então é simplesmente multiplicar pelo comprimento em
):
Interpretação rápida e dica para a prova: como
é independente de
, o volume é simplesmente (área sob a curva
para
) multiplicada pelo comprimento em
que é
. Se lembrar disso, a conta fica bem direta.
Resposta
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