Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z=4-x^2 e pelos planos y=0, z=0 e y=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies:
  • z=4-x^{2} (um cilindro parabólico paralelo ao eixo y);
  • os planos y=0 e y=3;
  • o plano z=0;
    e o enunciado diz que estamos no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície superior do sólido é z=4-x^{2}.
  • O sólido é limitado inferiormente por z=0.
  • Em y o sólido fica entre y=0 e y=3.
  • O primeiro octante impõe x\ge0.
  • Para existir z\ge0 deve valer 4-x^{2}\ge0, o que dá uma restrição em x (veremos isso adiante).

Passo 2

Estratégia e ideia-chave (aquela “aula rápida” que ajuda na prova):
  • Volume de um corpo V pode ser calculado como a integral tripla da função 1 sobre a região D ocupada pelo sólido:
V=\iiint_{D} 1 \,dV.
  • Em prática, para sólidos com superfícies bem descritas, usamos integrais iteradas (Fubini): escolhemos uma ordem de integração conveniente e escrevemos
V=\int_{y=y_{0}}^{y_{1}}\int_{x=x_{0}(y)}^{x_{1}(y)}\int_{z=z_{\text{inf}}(x,y)}^{z_{\text{sup}}(x,y)} 1\,dz\,dx\,dy,
onde cada função de limite tem o sentido óbvio: z_{\text{inf}} e z_{\text{sup}} são as superfícies inferior e superior em z, e x_{0},x_{1} e y_{0},y_{1} vêm da projeção da região no plano xy.
  • Aqui as variáveis são x,y,z; dV é o elemento de volume; e integrar 1 significa “somar” fatias de volume infinitesimais.

Passo 3

Determinar a projeção da região no plano xy e os limites para x e y:
  • Do plano y=0 até y=3 temos já que 0\le y\le3.
  • Para x: como o sólido está entre z=0 e z=4-x^{2}, precisamos de 4-x^{2}\ge0. Resolve-se
4-x^{2}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le4 \quad\Longrightarrow\quad -2\le x\le 2.
  • Mas no primeiro octante temos x\ge0. Assim o intervalo de x é
0\le x\le 2.
  • Observação prática: a equação z=4-x^{2} não depende de y, portanto a projeção no plano xy é um retângulo simples:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le3\}.

Passo 4

Montar a integral iterada para o volume, escolhendo a ordem dz\,dx\,dy (conveniente porque z tem limites simples):
V=\int_{y=0}^{3}\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{4-x^{2}} 1\,dz\,dx\,dy.
Explicação: o integrando é 1 porque estamos somando volumes de fatias. O limite superior em z é 4-x^{2} (da superfície dada) e o limite inferior em z é 0. Os limites em x e y vêm do Passo 3.

Passo 5

Calcular a integral interna em z:
\int_{z=0}^{4-x^{2}} 1\,dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{4-x^{2}} = 4-x^{2}.
Ou seja, para cada par (x,y) a espessura vertical do sólido é 4-x^{2}.

Passo 6

Agora integrar em x:
\int_{x=0}^{2} (4-x^{2})\,dx = \left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Calcule passo a passo:
  • Avaliando em x=2: 4\cdot2-\dfrac{2^{3}}{3}=8-\dfrac{8}{3}.
  • Avaliando em x=0: 0.
  • Subtraindo: 8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{24-8}{3}=\dfrac{16}{3}.
Portanto a integração em x \dfrac{16}{3}; isto é a área da seção transversal (área projetada vezes altura) para cada y.

Passo 7

Por fim integrar em y (a dependência em y já desapareceu, então é simplesmente multiplicar pelo comprimento em y):
V=\int_{y=0}^{3} \frac{16}{3}\,dy = \frac{16}{3}\bigl[y\bigr]_{0}^{3} = \frac{16}{3}\cdot 3 = 16.
Interpretação rápida e dica para a prova: como z=4-x^{2} é independente de y, o volume é simplesmente (área sob a curva z=4-x^{2} para 0\le x\le2) multiplicada pelo comprimento em y que é 3. Se lembrar disso, a conta fica bem direta.

Resposta

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