Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal w. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
(-9)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a raiz n-ésima principal w para o caso (-9)^{1/2}.
  • Posicionar as raízes (todas as raízes quadradas de -9) numa circunferência apropriada e centrada na origem.
Informações dadas:
  • O número complexo cujo raiz procuramos é z=-9.
  • O expoente é 1/2, ou seja, n=2 (raiz quadrada).

Passo 2

Primeiro vamos escrever z em forma polar (módulo e argumento). Qualquer número complexo z pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde:
  • r = |z| é o módulo (distância ao origem);
  • \theta = \arg(z) é o argumento (ângulo polar); convencionamos o argumento principal \theta em (-\pi,\pi].
Para z=-9 (um real negativo):
  • O módulo é r = |-9| = 9.
  • O argumento principal é \theta = \pi (porque -9 está sobre o eixo real negativo, a 180^\circ).
Portanto pegamos
z = -9 = 9 e^{i\pi}.

Passo 3

Agora a fórmula geral para as n raízes n-ésimas de z = r e^{i\theta} é (fórmula de De Moivre invertida)
w_k = r^{1/n} \, e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Aqui:
  • r^{1/n} é a raiz n-ésima do módulo;
  • \dfrac{\theta + 2\pi k}{n} são os argumentos das diferentes raízes;
  • o índice k dá todas as raízes distintas (no total n).
A raiz principal é geralmente tomada com k=0 usando o argumento principal \theta.

Passo 4

Aplicando para n=2, r=9 e \theta=\pi:
  • O módulo das raízes é
r^{1/2} = 9^{1/2} = 3.
  • As duas raízes são (tomando k=0 e k=1):
w_0 = 3\,e^{i\frac{\pi+2\pi\cdot 0}{2}} = 3\,e^{i\frac{\pi}{2}} = 3\big(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}\big)=3i,
w_1 = 3\,e^{i\frac{\pi+2\pi\cdot 1}{2}} = 3\,e^{i\frac{3\pi}{2}} = 3\big(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\big)=-3i.

Passo 5

Explicando em palavras (bem devagarzinho): as duas raízes quadradas de -9 são 3i e -3i. A raiz principal corresponde a k=0, que dá w_0=3i (a que tem parte imaginária positiva). A outra raiz é -3i.

Passo 6

Posicionamento geométrico:
  • As duas raízes ficam numa circunferência centrada na origem com raio 3 (porque o módulo de cada raiz é 3).
  • Seus ângulos polares são \tfrac{\pi}{2} (para 3i) e \tfrac{3\pi}{2} ou -\tfrac{\pi}{2} (para -3i). Elas são diametralmente opostas no círculo de raio 3.

Resposta

w = 3i
As raízes são 3i e -3i, situadas numa circunferência centrada na origem de raio 3, nos ângulos \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} (ou -\tfrac{\pi}{2}).

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