Em cada caso, determine a raiz n -ésima principal
. Posicione as raízes em uma circunferência apropriada e centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a raiz
-ésima principal para o caso . - Posicionar as raízes (todas as raízes quadradas de
) numa circunferência apropriada e centrada na origem.
Informações dadas:
- O número complexo cujo raiz procuramos é
. - O expoente é
, ou seja, (raiz quadrada).
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em forma polar (módulo e argumento). Qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde:
-
é o módulo (distância ao origem); -
é o argumento (ângulo polar); convencionamos o argumento principal em .
Para
(um real negativo):
- O módulo é
. - O argumento principal é
(porque está sobre o eixo real negativo, a ).
Portanto pegamos
Passo 3
Agora a fórmula geral para as
raízes
-ésimas de
é (fórmula de De Moivre invertida)
Aqui:
-
é a raiz -ésima do módulo; -
são os argumentos das diferentes raízes; - o índice
dá todas as raízes distintas (no total ).
A raiz principal é geralmente tomada com
usando o argumento principal
.
Passo 4
Aplicando para
,
e
:
- O módulo das raízes é
- As duas raízes são (tomando
e ):
Passo 5
Explicando em palavras (bem devagarzinho): as duas raízes quadradas de
são
e
. A raiz principal corresponde a
, que dá
(a que tem parte imaginária positiva). A outra raiz é
.
Passo 6
Posicionamento geométrico:
- As duas raízes ficam numa circunferência centrada na origem com raio
(porque o módulo de cada raiz é ). - Seus ângulos polares são
(para ) e ou (para ). Elas são diametralmente opostas no círculo de raio .
Resposta
As raízes são
e
, situadas numa circunferência centrada na origem de raio
, nos ângulos
e
(ou
).