Em cada caso, determine se a série dada é convergente ou divergente. Sendo convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^infty(12 n+12^n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^inftyl(12n+12^nr)
ou seja, testar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo usado será a decomposição de séries, o comportamento da série harmônica e da série geométrica.

Passo 2

Vamos separar a soma em duas séries mais simples:
sumn=1^inftyl(12n+12^nr) =sumn=1^infty12n ;+;sumn=1^infty12^n

Passo 3

Para a primeira soma temos
sumn=1^infty12n =12sumn=1^infty1n,
e sabemos que sumn=1^inftytfrac1n é a série harmônica, que diverge. Portanto a parte sumn=1^infty12n também diverge.
Já a segunda soma é geométrica de razão r=tfrac12, logo
sumn=1^infty12^n =tfrac121-tfrac12 =1,
mas isso não compensa o termo divergente anterior.

Passo 4

Como a soma de uma parte divergente com uma parte convergente permanece divergente, a série original não converge.

Resposta

A série diverge.

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