CALCULE \partial z / \partial u E \partial z / \partial v PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O
RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DAS VARIÁVEIS u E v

4) - CALCULE partial w / partial u E partial w / partial v PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O

RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DAS VARIÁVEIS u E v

& w=f(x, y, z)=x+2 y-4 z2 x-y+3 z & x=x(u, v)=e^2 u cos 3 v & y=y(u, v)=e^2 u sin 3 v & z=z(u, v)=e^2 u

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais
partial w/partial u e partial w/partial v para
w = f(x,y,z) = x + 2y - 4z2x - y + 3z,
onde
x = x(u,v) = e^2ucos(3v), y = y(u,v) = e^2usin(3v), z = z(u,v) = e^2u
O conteúdo principal é a regra da cadeia em funções de várias variáveis, mas antes de aplicar diretamente é inteligente verificar se há simplificação ao substituir x,y,z em w.

Passo 2

Substituindo em w temos
w = e^2ucos(3v) + 2,e^2usin(3v) - 4,e^2u 2,e^2ucos(3v) - e^2usin(3v) + 3,e^2u = e^2ul(cos(3v) + 2sin(3v) - 4r) e^2ul(2cos(3v) - sin(3v) + 3r)
Como o fator e^2u cancela no numerador e no denominador, obtemos
w = cos(3v) + 2sin(3v) - 42cos(3v) - sin(3v) + 3,
que depende apenas de v.

Passo 3

Como w não depende de u, sua derivada parcial em relação a u é zero:
partial wpartial u = 0

Passo 4

Para partial w/partial v, definimos
A(v) = cos(3v) + 2sin(3v) - 4, B(v) = 2cos(3v) - sin(3v) + 3,
de modo que w = A/B. Aplicando a regra do quociente:
dAdv = -3sin(3v) + 6cos(3v), dBdv = -6sin(3v) -3cos(3v)
Logo,
partial wpartial v = A'(v),B(v) - A(v),B'(v)l[B(v)r]^2 = l(-3sin(3v)+6cos(3v)r)l(2cos(3v)-sin(3v)+3r) -l(cos(3v)+2sin(3v)-4r)l(-6sin(3v)-3cos(3v)r) l(2cos(3v)-sin(3v)+3r)^2

Resposta

partial wpartial u = 0
partial wpartial v = l(-3sin(3v)+6cos(3v)r)l(2cos(3v)-sin(3v)+3r) -l(cos(3v)+2sin(3v)-4r)l(-6sin(3v)-3cos(3v)r) l(2cos(3v)-sin(3v)+3r)^2

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