(2 Pontos) O campo de velocidade de um fluido é
F=x i+z j+y k
Encontre o escoamento ao longo da hélice
r(t)=(cos t) i+(sen t) j+t k, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
F(x,y,z)=x,i+z,j+y,k
e a hélice parametrizada por
r(t)=(cos t),i+(sin t),j+t,k, 0<= t<= tfracpi2
Queremos o escoamento (trabalho)
integralCFcdot d r
que se calcula por integral de linha: parametrize, achar F(r(t)), r'(t) e integrar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro achemos F(r(t)) e r'(t).
Como x=cos t,;y=sin t,;z=t, temos
F(r(t)) =(cos t),i +,t,j +(sin t),k
Derivando r(t):
r'(t)=(-sin t),i+(cos t),j+1,k

Passo 3

Agora o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t) =(cos t)(-sin t) +,t,(cos t) +(sin t),(1) =-sin tcos t + tcos t + sin t
Portanto o escoamento é
integral0^pi/2l(-sin tcos t + tcos t + sin tr),dt

Passo 4

Integramos termo a termo em [0,tfracpi2]:
  1. integral -sin tcos t,dt =-tfrac12sin^2t\bigm| 0^{\pi/2}
    =,-\tfrac12.)
  2. integral tcos t,dt =tsin t-integralsin t,dt =tsin t+cos t\bigm| 0^{\pi/2}
    = tfracpi2-1.)
  3. integralsin t,dt =-cos t\bigm| 0^{\pi/2}
    =1.)
    Somando:
-tfrac12 +l(tfracpi2-1r) +1 =tfracpi2-tfrac12 =pi-12

Resposta

integralCFcdot d r=pi-12

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