Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros a e b.
cx+y+a z=1 x+2 y+z=2 2 x+5 y-3 z=b.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x+y+az=1, x+2y+z=2, 2x+5y-3z=b
e pede para classificar as soluções segundo os parâmetros a e b. Vamos usar determinantes para ver quando há solução única e, no caso degenerado, usar eliminação de Gauss para distinguir entre infinitas soluções e nenhum solução.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A= 1 & 1 & a 1 & 2 & 1 2 & 5 & -3
e calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!2&15&-3 -1cdotdet!1&12&-3 +acdotdet!1&22&5 =a-6

Passo 3

Se det(A)neq0, ou seja aneq6, o sistema tem solução única para todo b.

Passo 4

Se a=6, então det(A)=0 e o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Substituindo a=6 e fazendo eliminação de Gauss:
R 1: (1,1,6mid1)
R 2-R 1: (0,1,-5mid1)
R 3- 2cdotR 1: (0,3,-15mid b-2).

Passo 5

Da segunda equação temos ;y-5z=1. Multiplicando por 3 3y-15z=3. Para que isso coincida com a linha 3 precisamos de
b-2=3Longrightarrow b=5
Se b=5, a terceira linha é redundante e há infinitas soluções (grau de liberdade 1). Se bneq5, as equações se contradizem e não há solução.

Resposta

  • Se aneq6: solução única para todo b.
  • Se a=6 e b=5: infinitas soluções.
  • Se a=6 e bneq5: nenhum solução.

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