Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
5 x1+8 x2+15 x3 & =-7 3 x1+5 x2+9 x3 & =-2 x1+2 x2+3 x3= & 3

Passo 1

O enunciado pede a resolução do sistema linear por eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para chegar à forma escalonada.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
(ccc|c 5 & 8 & 15 & -7 3 & 5 & 9 & -2 1 & 2 & 3 & 3 )
Para ter pivô unitário em (1,1), trocamos R1 e R3:
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 3 3 & 5 & 9 & -2 5 & 8 & 15 & -7 )
Em seguida, eliminamos x1 em R2 e R3 com
R2 R2 - 3,R1, R3 R3 - 5,R1
obtendo
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 3 0 & -1 & 0 & -11 0 & -2 & 0 & -22 )

Passo 3

Para normalizar o pivô em (2,2), fazemos
R2 -R2
chegando a
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 3 0 & 1 & 0 & 11 0 & -2 & 0 & -22 )
Agora eliminamos o termo em (3,2) com
R3 R3 + 2,R2
e obtemos a forma escalonada reduzida:
(ccc|c 1 & 2 & 3 & 3 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 4

O sistema equivalente é
x1 + 2x2 + 3x3 = 3, x2 = 11, 0 = 0
Da segunda equação vem x2=11. A terceira é trivial, indicando que x3 é livre; seja x3 = t. Substituindo em
x1 + 2cdot11 + 3t = 3
temos
x1 = 3 - 22 - 3t = -19 - 3t

Passo 5

Logo a solução geral é
(x1,x2,x3)=(-19 - 3t,;11,;t), tinR,
e o grau de liberdade do sistema é 1 (uma variável livre).

Resposta

A solução é (x1,x2,x3)=(-19-3t,11,t) com tinR e o grau de liberdade é 1.

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