Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros a e b.
rlrx1+a x2+x3 & = & 1 2 x1-a x2+3 x3 & = & a -x1+3 x2 & = & -2

Passo 1

O sistema depende de dois parâmetros a e b:
x1+a,x2+x3=1, 2,x1-a,x2+3,x3=a, -,x1+3,x2+b,x3=-2
O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares paramétricos pelo determinante da matriz dos coeficientes e pelo estudo de consistência quando esse determinante for zero.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A= 1 & a & 1 2 & -a & 3 -1 & 3 & b
e calculamos o determinante det(A). Expandindo pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet-a&33&b - acdotdet2&3-1&b +1cdotdet2&-a-1&3
Fazendo as contas,
det(A)=-a,b-9 ;-;2a,b-3a;+;6 -a =-3,a,b;-4,a;-3

Passo 3

Se det(A)neq0, o sistema tem única solução. Logo
det(A)neq0Long<=ftrightarrow -3ab-4a-3neq0 Long<=ftrightarrow 3ab+4a+3neq0

Passo 4

Quando det(A)=0, ou seja 3ab+4a+3=0, as três equações ficam linearmente dependentes. Em particular a terceira linha é combinação das duas primeiras: existem alpha,beta tais que
(-1,;3,;b) =alpha,(1,;a,;1)+beta,(2,;-a,;3)
Resolvendo
alpha+2beta=-1,
a(alpha-beta)=3,
alpha+3beta=b,
obtemos
alpha=6 - a3a, beta=-a+33a
Para que o sistema seja consistente, a mesma combinação deve valer no vetor dos termos independentes (1,a,-2), ou seja
-2 =alphacdot1+betacdot a =6 - a3a + a!;l(-a+33ar)

Passo 5

A equação de consistência
6 - a3a -a(a+3)3a =-2
simplifica para
-a^2-4a+6=-6a Long<=ftrightarrow a^2-2a-6=0 Long<=ftrightarrow a=1pmraiz7
Juntando com 3ab+4a+3=0, para esses dois valores de a determinamos b por
b=-4a+33a
Nesses pares l(a,br) o sistema tem infinitas soluções; em todos os outros sobre a curva 3ab+4a+3=0 ele é inconsistente (sem solução).

Passo 6

Resumo dos casos:
  1. Se 3ab+4a+3neq0, há única solução.
  2. Se 3ab+4a+3=0 e a=1pmraiz7 (logo b=-(4a+3)/(3a)), há infinitas soluções.
  3. Se 3ab+4a+3=0 e aneq1pmraiz7, o sistema é inconsistente (sem solução).

Resposta

Única solução se
3ab+4a+3neq0
Infinitas soluções se
3ab+4a+3=0 e a=1pmraiz7, b=-4a+33a
Sem solução se
3ab+4a+3=0 e aneq1pmraiz7

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