Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros a e b.
clcx1+2 x2+(b+1) x3 & = & 2 x2+b^2 x3 & = & b+1 x1+(1-b) x3 & = & 0

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um sistema linear de três equações em três incógnitas (x1,x2,x3) que depende do parâmetro b:
x1+2x2+(b+1)x3=2, x2+b^2x3=b+1, x1+(1-b)x3=0
O conteúdo é resolução de sistemas paramétricos por substituição (ou eliminação de Gauss), identificando os casos de compatibilidade: único, infinitas soluções ou nenhum.

Passo 2

Use a terceira equação para isolar x1:
x1+(1-b)x3=0 Longrightarrow x1=(b-1),x3
Substitua esse x1 nas duas primeiras equações. Na primeira:
(b-1)x3+2x2+(b+1)x3=2 Longrightarrow 2x2+2b,x3=2 Longrightarrow x2+b,x3=1
A segunda já é
x2+b^2x3=b+1

Passo 3

Agora temos o subsistema em x2,x3:
x2+b,x3=1, x2+b^2x3=b+1
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
(b^2-b),x3=b+1-1 Longrightarrow b(b-1),x3=b

Passo 4

Caso genérico bneq0 e bneq1:
x3=bb(b-1)=1b-1, x2=1-b,x3=1-bb-1=11-b, x1=(b-1)x3=1
Conclusão: para bneq0,1 o sistema é compatível determinado (solução única).

Passo 5

Caso b=0: a equação b(b-1)x3=b vira 0cdot x3=0, sempre satisfeita. Substituindo b=0 em
,x2+b,x3=1Rightarrow x2=1
e
,x1=(b-1)x3=-x3,
tomamos x3=t livre. Logo infinitas soluções
(x1,x2,x3)=(-t,,1,,t), tinR

Passo 6

Caso b=1: a equação b(b-1)x3=b vira 0cdot x3=1, impossível. Portanto o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Para o parâmetro b:
  • bneq0,1: sistema compatível determinado (solução única).
  • b=0: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
  • b=1: sistema incompatível (sem solução).

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