Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros e .
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um sistema linear de três equações em três incógnitas (x1,x2,x3) que depende do parâmetro b:
x1+2x2+(b+1)x3=2, x2+b^2x3=b+1, x1+(1-b)x3=0
O conteúdo é resolução de sistemas paramétricos por substituição (ou eliminação de Gauss), identificando os casos de compatibilidade: único, infinitas soluções ou nenhum.
Passo 2
Use a terceira equação para isolar x1:
x1+(1-b)x3=0 Longrightarrow x1=(b-1),x3
Substitua esse x1 nas duas primeiras equações. Na primeira:
Conclusão: para bneq0,1 o sistema é compatível determinado (solução única).
Passo 5
Caso b=0: a equação b(b-1)x3=b vira 0cdot x3=0, sempre satisfeita. Substituindo b=0 em ,x2+b,x3=1Rightarrow x2=1
e ,x1=(b-1)x3=-x3,
tomamos x3=t livre. Logo infinitas soluções
(x1,x2,x3)=(-t,,1,,t), tinR
Passo 6
Caso b=1: a equação b(b-1)x3=b vira 0cdot x3=1, impossível. Portanto o sistema é incompatível (sem solução).
Resposta
Para o parâmetro b:
bneq0,1: sistema compatível determinado (solução única).
b=0: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).