Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros a e b.
clrx+y+z & = & 0 x+(a-1) y & = & 1 x+a z & = & -1 x+z & = & 2

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + y + z = 0, x + (a-1)y = 1, x + a,z = -1, x + z = 2
com parâmetro ,a (não aparece b no sistema). Queremos classificar o tipo de solução (nenhuma, única ou infinita) conforme a. Vamos usar eliminação de variáveis e verificar a consistência.

Passo 2

Da primeira equação temos
x = -y - z
Substituindo em x+z=2 (4ª equação) vem
(-y - z) + z = 2Longrightarrow -y = 2Longrightarrow y = -2
Logo
x = -(-2) - z = 2 - z

Passo 3

Agora substituímos x=2-z e y=-2 na segunda equação
(2 - z) + (a-1)(-2) = 1
ou seja
2 - z -2a + 2 = 1 Longrightarrow -,z = 2a - 3 Longrightarrow z = 3 - 2a
Em seguida
x = 2 - (3 - 2a) = 2a - 1

Passo 4

Para que tudo seja consistente, a terceira equação deve valer:
x + a,z = -1 Longrightarrow (2a-1) + a(3-2a) = -1
Isso dá
-2a^2 + 5a - 1 = -1 Longrightarrow -2a^2 + 5a = 0 Longrightarrow a(5 - 2a) = 0
portanto
a = 0 ou a = tfrac52
Para quaisquer outros valores de a, a equação se torna impossível e o sistema fica inconsistente.

Passo 5

Resumo dos casos:
  • Se a = 0 ou a = tfrac52, há exatamente uma solução.
  • Se a neq 0,tfrac52, o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
    Não há caso de infinitas soluções pois o sistema está sobredeterminado sem degenerar em grau de liberdade.

Resposta

Para a=0 ou a=tfrac52 o sistema tem solução única
x = 2a - 1, y = -2, z = 3 - 2a
Para aneq 0,tfrac52 o sistema não admite solução.

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