Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros e .
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x + y + z = 0, x + (a-1)y = 1, x + a,z = -1, x + z = 2
com parâmetro ,a (não aparece b no sistema). Queremos classificar o tipo de solução (nenhuma, única ou infinita) conforme a. Vamos usar eliminação de variáveis e verificar a consistência.
Passo 2
Da primeira equação temos
x = -y - z
Substituindo em x+z=2 (4ª equação) vem
(-y - z) + z = 2Longrightarrow -y = 2Longrightarrow y = -2
Logo
x = -(-2) - z = 2 - z
Passo 3
Agora substituímos x=2-z e y=-2 na segunda equação
(2 - z) + (a-1)(-2) = 1
ou seja
2 - z -2a + 2 = 1 Longrightarrow -,z = 2a - 3 Longrightarrow z = 3 - 2a
Em seguida
x = 2 - (3 - 2a) = 2a - 1
Passo 4
Para que tudo seja consistente, a terceira equação deve valer:
Para quaisquer outros valores de a, a equação se torna impossível e o sistema fica inconsistente.
Passo 5
Resumo dos casos:
Se a = 0 ou a = tfrac52, há exatamente uma solução.
Se a neq 0,tfrac52, o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
Não há caso de infinitas soluções pois o sistema está sobredeterminado sem degenerar em grau de liberdade.