Em cada caso, determine:
o valor de m para que os vetores u=(3,2,-1), v=(1,-1,3) e w=(0,-2, m) sejam coplanares

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que os vetores u=(3,2,-1), v=(1,-1,3) e w=(0,-2,m) sejam coplanares. Isso envolve o conteúdo de produto misto (ou determinante de três vetores) em R^3.

Passo 2

A condição de coplanaridade é que o produto misto seja zero, isto é, o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores deve satisfazer
det 3 & 2 & -1 1 & -1 & 3 0 & -2 & m =0

Passo 3

Expandindo pela primeira linha,
det = 3det-1 & 3 -2 & m -2det1 & 3 0 & m +(-1)det1 & -1 0 & -2
Calculando cada menor:
det-1 & 3 -2 & m = -m + 6, det1 & 3 0 & m = m, det1 & -1 0 & -2 = -2
Logo,
det = 3(6 - m) ;- 2m ;+;2 = 18 - 3m - 2m + 2 = 20 - 5m

Passo 4

Impondo det=0, obtém-se
20 - 5m = 0 Longrightarrow m = 4

Resposta

m = 4

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