Questão 4 Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Os pontos (0,1,1),(1,1,1),(3,-3,1),(-5,2,4) são coplanares.
4. [0,75 pt] Os pontos
(0,1,1),(1,1,1),(3,-3,1),(-5,2,4) são coplanares.

Passo 1

O enunciado quer saber se quatro pontos em R^3 são coplanares. Para isso vamos usar o critério do produto misto: se escolhermos um ponto como referência e definirmos três vetores a partir dele, então os pontos são coplanares se, e somente se, o produto misto desses vetores for zero.

Passo 2

Escolho P1=(0,1,1) como referência e calculo os vetores até os outros pontos:
v1 = P2 - P1 = (1,1,1)-(0,1,1) = (1,0,0),
v2 = P3 - P1 = (3,-3,1)-(0,1,1) = (3,-4,0),
v3 = P4 - P1 = (-5,2,4)-(0,1,1) = (-5,1,3)

Passo 3

Calculo o produto vetorial v2 times v3:
v2 times v3 = i & j & k 3 & -4 & 0 -5 & 1 & 3 =(-4cdot3 - 0cdot1),i - (3cdot3 - 0cdot(-5)),j + (3cdot1 - (-4)cdot(-5)),k = (-12,-9,-17)

Passo 4

Agora o produto misto é
[v1,v2,v3] = v1 cdot (v2 times v3) = (1,0,0)cdot(-12,-9,-17) = -12 neq 0
Como o produto misto é não nulo, o volume do tetraedro formado pelos quatro pontos é diferente de zero, logo eles não são coplanares.

Resposta

Falsa.

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