Exercício 7.7 Considere o seguinte subespaço de M2 times 3(R) :
W=(lll a & b & c d & e & f ) in M2 times 3(R): a-b+f=0,2 b+c=0, d-e+f=0
(a) Determine a dimensão de W.
(b) Verifique quais dos seguintes conjuntos são base de W.
c S1=(ccc -5 & 2 & -4 -1 & 2 & 3 ),(ccc 1 & 0 & 0 2 & 1 & -1 ),(ccc -2 & 1 & -2 1 & 2 & 1 ) S2=(ccc -1 & 1 & -2 0 & 0 & 0 ),(ccc 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 ),(ccc -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado define o subespaço
e pede:
  1. a dimensão de , ou seja, a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo de três equações lineares em seis incógnitas;
  2. verificar quais dos conjuntos e são base de , isto é, se são subconjuntos de , linearmente independentes e geram .

Passo 2

Para calcular dim(W) note que temos seis variáveis ,a,b,c,d,e,f sujeitas a três equações lineares homogêneas
a - b + f = 0, 2b + c = 0, d - e + f = 0
Como essas três equações são linearmente independentes (cada uma envolve um conjunto diferente de variáveis), o posto do sistema é 3. Pelo teorema da dimensão,
dim(W) = 6 - 3 = 3

Passo 3

Agora vamos testar o conjunto
S1=l-5&2&-4-1&2&3,,1&0&02&1&-1,,-2&1&-21&2&1r
Verificamos cada matriz se satisfaz as três equações. Para a primeira matriz de S1, temos
a=-5,;b=2,;f=3 Longrightarrow a-b+f = -5 - 2 + 3 = -4 neq 0
Portanto essa matriz não pertence a W, Logo S1 falha já na condição de ser subconjunto de W e não pode ser base.

Passo 4

Fazendo o mesmo para
S2=l-1&1&-20&0&0,,1&1&11&1&0,,-1&0&00&0&1r,
na primeira matriz de S2 temos
a=-1,;b=1,;f=0 Longrightarrow a-b+f = -1 - 1 + 0 = -2 neq 0,
logo ela também não está em W e S2 não é base.

Resposta

dim(W)=3.
Nenhum dos conjuntos S1 ou S2 é base de W.

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