Em cada caso, encontrar a área limitada pela curva y: y=x^2-6 x e [1,5 ; 4,5]

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva y = x^2 - 6x e as retas x = 1,5 e x = 4,5. Vamos usar cálculo de integrais definidas para achar a região entre a curva e o eixo x.

Passo 2

Primeiro, identificamos que as raízes da parábola y = x^2 - 6x são x = 0 e x = 6. Como 1,5 e 4,5 estão entre essas raízes, temos y < 0 nesse intervalo. Então a área pedida é o valor absoluto da integral definida de 1,5 a 4,5 de (x^2 - 6x).

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de f(x) = x^2 - 6x usando a regra de potência. Uma primitiva é
F(x)=x^33-3x^2

Passo 4

Avaliamo-la nos limites e obtemos
F(4.5)=(4.5)^33-3(4.5)^2=-30.375,
F(1.5)=(1.5)^33-3(1.5)^2=-5.625

Passo 5

Logo,
integral1.5^4.5(x^2-6x),dx=F(4.5)-F(1.5)=-30.375-(-5.625)=-24.75

Passo 6

Como y está abaixo do eixo x, a área positiva é
|-24.75|=24.75

Resposta

A área é 994.

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