Expresse a solução do PVI
em termos da função de erro
(Resp.
em termos da função de erro
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
y′ = 1 + 2 x y, com y(0) = 0
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem e a gente vai usar fator integrante. No fim, queremos escrever a solução em termos da função erf(x).
y′ = 1 + 2 x y, com y(0) = 0
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem e a gente vai usar fator integrante. No fim, queremos escrever a solução em termos da função erf(x).
Passo 2
A equação pode ser reescrita como
O fator integrante é dado por
Multiplicando ambos os lados por
, reconhecemos uma derivada total:
Integrando de 0 a x, obtemos:
Passo 3
Como a condição inicial é
, isso simplifica para
Passo 4
Pela definição
a integral vira
Logo temos
Resposta
y(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e{x2} \operatorname{erf}(x)