Expresse a solução do PVI
y^prime=1+2 x y, y(0)=0
em termos da função de erro
erf(x)=2raizpi integral0^x e^-t^2 d t
(Resp. y(x)=raizpi2 e^x^2 erf(x))

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y′ = 1 + 2 x y, com y(0) = 0
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem e a gente vai usar fator integrante. No fim, queremos escrever a solução em termos da função erf(x).

Passo 2

A equação pode ser reescrita como
y' - 2x y = 1.
O fator integrante é dado por
mu(x) = expl(integral -2x,dxr) = e^-x^2
Multiplicando ambos os lados por e^-x^2, reconhecemos uma derivada total:
(y e^-x^2)' = e^-x^2
Integrando de 0 a x, obtemos:
y(x)e^-x^2 - y(0) = integral0^x e^-t^2,dt

Passo 3

Como a condição inicial é y(0)=0, isso simplifica para
y(x)e^-x^2 = integral0^x e^-t^2,dt

Passo 4

Pela definição
integral0^x e^-t^2,dt = raizpi2,erf(x)
a integral vira
y(x)e^-x^2 = raizpi2,erf(x)
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Resposta

y(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e{x2} \operatorname{erf}(x)

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