Para cada função dada, encontre o valor de X satisfazendo o teorema do valor médio para integrais: integral0^2(x^3-1) d x

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^3-1 no intervalo [0,2] e queremos usar o Teorema do Valor Médio para integrais, que diz que existe Xin[0,2] tal que f(X)(2-0)=integral0^2 f(x),dx. Para resolver, vamos precisar calcular a integral e depois igualar f(X) ao valor médio.

Passo 2

Primeiro, calculamos a integral integral0^2(x^3-1),dx.
integral0^2(x^3 - 1),dx = integral0^2x^3,dx - integral0^21,dx = [x^44]0^2 - [x]0^2 = 2^44 - 2 = 4 - 2 = 2

Passo 3

O valor médio de f em [0,2] é 12-0integral0^2 f(x),dx=22=1. Pelo Teorema do Valor Médio, temos f(X)=1, ou seja:
X^3 - 1 = 1
Resolvendo, X^3=2 e portanto X=raiz[3]2, que pertence a [0,2], como esperado.

Resposta

X=raiz[3]2

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