É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine
. d
, onue c tem equações paramétricas
. Resp: 6
0 | 1 | 2 | |
---|---|---|---|
0 | 1 | 6 | 4 |
1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 8 | 2 | 9 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de
ao longo de uma curva
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo gradientes e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente, como parametrizar a curva e usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente,
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Quando temos uma integral do tipo
, estamos calculando a variação da função
ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a curva
definida pelas equações paramétricas:
Isso significa que, quando
varia de 0 a 1, a curva
traça um caminho no plano
.
Passo 4
Pela tabela fornecida, temos os valores de
em pontos específicos:
Precisamos identificar os valores de
nos pontos de início e fim da curva
.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos inicial e final da curva
. Quando
:
Quando
:
Passo 6
Consultando a tabela, temos:
Passo 7
Pela propriedade das integrais de campo conservativo, que é o caso quando temos o gradiente de uma função, a integral de
ao longo de uma curva
depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final da curva. Ou seja:
Passo 8
Aplicando os valores que encontramos:
Resposta
A integral
vale 6.