É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine integralc nabla f. d r, onue c tem equações paramétricas x=t^2+1, y=t^3+t, 0 <= t <= 1. Resp: 6
0 1 2
0 1 6 4
1 3 5 7
2 8 2 9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de nabla f ao longo de uma curva c. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo gradientes e integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente, como parametrizar a curva e usar o teorema fundamental do cálculo para integrais de campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, nabla f, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Quando temos uma integral do tipo integralc nabla f cdot dr, estamos calculando a variação da função f ao longo da curva c.

Passo 3

Agora, vamos considerar a curva c definida pelas equações paramétricas:
x = t^2 + 1 y = t^3 + t para 0 <= t <= 1
Isso significa que, quando t varia de 0 a 1, a curva c traça um caminho no plano xy.

Passo 4

Pela tabela fornecida, temos os valores de f em pontos específicos:
ccc & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 6 & 4 1 & 3 & 5 & 7 2 & 8 & 2 & 9
Precisamos identificar os valores de f nos pontos de início e fim da curva c.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos inicial e final da curva c. Quando t=0:
x = 0^2 + 1 = 1 y = 0^3 + 0 = 0 Rightarrow Ponto inicial (1, 0)
Quando t=1:
x = 1^2 + 1 = 2 y = 1^3 + 1 = 2 Rightarrow Ponto final (2, 2)

Passo 6

Consultando a tabela, temos:
f(1, 0) = 3 f(2, 2) = 9

Passo 7

Pela propriedade das integrais de campo conservativo, que é o caso quando temos o gradiente de uma função, a integral de nabla f cdot dr ao longo de uma curva c depende apenas dos valores de f nos pontos inicial e final da curva. Ou seja:
integralc nabla f cdot dr = f(final) - f(inicial)

Passo 8

Aplicando os valores que encontramos:
integralc nabla f cdot dr = f(2, 2) - f(1, 0) = 9 - 3 = 6

Resposta

A integral integralc nabla f cdot dr vale 6.

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