Em cada caso, encontrar a área limitada pela curva y: y=x^3-13 x+4 e [-1 ; 2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob a curva y = x³ − \frac{1}{3}x + 4 no intervalo [−1, 2], ou seja, precisamos usar o conceito de integral definida para obter essa área.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x) = x³ − \tfrac{1}{3}x + 4. Aplicando as regras básicas de integração, temos:
F(x) = integral x^3,dx - integral 13x,dx + integral 4,dx = x^44 - x^26 + 4x + C

Passo 3

Para calcular a área, avaliamos F(x) em 2 e em −1 e calculamos F(2) − F(−1):
F(2) = 2^44 - 2^26 + 4cdot2 = 4 - 23 + 8 = 343,
F(-1) = (-1)^44 - (-1)^26 + 4(-1) = 14 - 16 - 4 = -4712,

Passo 4

Então a integral definida é
$$\int_{-1}^2 \bigl(x^3 - \tfrac{1}{3}x + 4\bigr)dx = F(2) - F(-1) = \frac{34}{3} - \bigl(-\frac{47}{12}\bigr) = \frac{61}{4}.
$$

Resposta

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