Em cada caso, encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=−x^2+3x+5 e y=x^2. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, determinar qual curva está por cima e integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Isso leva a
Resolvendo a equação quadrática obtemos as raízes x=−1 e x=5/2.
Passo 3
Precisamos saber qual função é a superior no intervalo [−1,5/2]. Tomando x=0 como teste: y1=−0+0+5=5 e y2=0, logo y=−x^2+3x+5 está acima de y=x^2. Assim, a integranda é (−x2+3x+5)−x2=−2x^2+3x+5.
Passo 4
Montamos a integral da diferença das funções de x=−1 até x=5/2:
O antiderivado de −2x^2+3x+5 é
Passo 5
Avaliamo-lo nos extremos:
Para x=5/2:
Para x=5/2:
Para x=−1:
Subtraindo, a área fica:
Resposta
A área da região é
.