Em cada caso, encontre a área da região limitada pelas curvas dadas: y=-x^2+3 x+5 e y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=−x^2+3x+5 e y=x^2. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, determinar qual curva está por cima e integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
−x^2+3x+5 = x^2
Isso leva a
2x^2 − 3x − 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática obtemos as raízes x=−1 e x=5/2.

Passo 3

Precisamos saber qual função é a superior no intervalo [−1,5/2]. Tomando x=0 como teste: y1=−0+0+5=5 e y2=0, logo y=−x^2+3x+5 está acima de y=x^2. Assim, a integranda é (−x2+3x+5)−x2=−2x^2+3x+5.

Passo 4

Montamos a integral da diferença das funções de x=−1 até x=5/2:
Área=integral-1^5/2 l(-2x^2+3x+5r),dx Á
O antiderivado de −2x^2+3x+5 é
F(x)= -tfrac23x^3 + tfrac32x^2 +5x .

Passo 5

Avaliamo-lo nos extremos:
Para x=5/2:
Fl(5/2r)= -tfrac23cdottfrac1258 + tfrac32cdottfrac254 +5cdottfrac52 = tfrac27524
Para x=−1:
F(-1)= -tfrac23(-1)^3 + tfrac32cdot1 -5 = -tfrac176
Subtraindo, a área fica:
tfrac27524 - l(-tfrac176r) = tfrac34324 .

Resposta

A área da região é tfrac34324.

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