Para cada função dada, encontre o valor de X satisfazendo o teorema do valor médio para integrais, isto é, encontre o número X tal que integrala^b f(x) d x=f(X)(b-a). Encontre também o valor médio de f no intervalo dado, isto é, f(X)=integrala^b f(x) d xb-a :
a) integral0^2(x^3-1) d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=x^3-1 no intervalo [0,2]. Queremos achar um ponto X tal que integral0^2f(x),dx = f(X)(2-0) (teorema do valor médio para integrais) e também determinar o valor médio de f no intervalo, que é f(X)=12-0integral0^2f(x),dx.

Passo 2

Calcular a integral integral0^2(x^3-1),dx. Temos
integral0^2(x^3-1),dx = [x^44-x]0^2 = l(164-2r)-0 = 4-2 = 2

Passo 3

Determinar o valor médio de f no intervalo usando
f(X) = 12-0integral0^2f(x),dx = 12cdot 2 = 1 Logo, f(X)=1.

Passo 4

Encontrar X tal que f(X)=X^3-1=1. Resolvendo X^3-1=1 obtemos
X^3 = 2 Longrightarrow X = raiz[3]2

Resposta

X = raiz[3]2, f(X) = 1

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