Use o método de integração por partes para calcular: integral0^2 x^3 e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular integral0^2 x^3 e^x^2 ,dx. O tema principal é integração por partes, mas aqui também é muito útil fazer uma substituição no expoente, pois percebemos que a derivada de x^2 aparece. Vamos usar primeiro a mudança de variável e depois a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável t = x^2. Então temos dt = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,dt. Além disso, x^3,dx = x^2,(x,dx) = t,l(tfrac12,dtr). Assim a integral fica
tfrac12 integral t,e^t ,dt

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em integral t,e^t ,dt. Escolhemos
u = t, & dv = e^t ,dt, du = dt, & v = e^t
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integral t,e^t ,dt = u,v - integral v,du = t,e^t - integral e^t ,dt = t,e^t - e^t + C = e^t,(t - 1) + C
Voltando à integral original com o fator tfrac12, o antiderivado é tfrac12,e^t,(t-1). Substituindo t = x^2 e avaliando de 0 a 2, temos
$$\left.\tfrac12,e{x2},(x^2 - 1)\right|_{0}^{2}
= \tfrac12\bigl(e^4(4-1) - e^0(0-1)\bigr)
= \tfrac12,(3e^4 + 1).$$

Resposta

3e^4 + 12

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