Em cada caso, encontrar a área limitada pela curva y: y=-2 sin x e [0 ; 3 pi]

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva y = –2 sin x e o eixo x no intervalo [0; 3π]. Vamos usar cálculo de integrais definidas e valor absoluto da função para obter a área.

Passo 2

A área entre a curva e o eixo x é dada por A = integral0^3pi |y|,dx = integral0^3pi |-2sin x|,dx = 2 integral0^3pi |sin x|,dx. Aqui usamos valor absoluto porque queremos área positiva.

Passo 3

Precisamos descobrir onde sin x muda de sinal para dividir a integral. Sabemos que sin x = 0 em x = 0, pi, 2pi, 3pi. Entre esses pontos, o sinal de sin x é:
[0, \pi]: positivo
[\pi, 2\pi]: negativo
[2\pi, 3\pi]: positivo

Passo 4

Vamos calcular a contribuição em cada pedaço:
Para [0, \pi], temos |sin x| = sin x. Então
A1 = 2 integral0^pi sin x,dx = 2 l[-cos xr]0^pi = 2l[(-cospi)-(-cos0)r] = 2[1-(-1)] = 4

Passo 5

Para [\pi, 2\pi], sin x é negativo, logo |sin x| = -sin x. Assim
A2 = 2 integralpi^2pi (-sin x),dx = 2 l[cos xr]pi^2pi = 2[(cos2pi)-(cospi)] = 2[1-(-1)] = 4

Passo 6

Para [2\pi, 3\pi], sin x volta a ser positivo, então |sin x| = sin x. Temos
A3 = 2 integral2pi^3pi sin x,dx = 2 l[-cos xr]2pi^3pi = 2[(-cos3pi)-(-cos2pi)] = 2[1-(-1)] = 4

Passo 7

Somando tudo, a área total é A = A1 + A2 + A3 = 4 + 4 + 4 = 12.

Resposta

12

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