Em cada caso, encontrar a área limitada pela curva
:
e
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pela curva y = –2 sin x e o eixo x no intervalo [0; 3π]. Vamos usar cálculo de integrais definidas e valor absoluto da função para obter a área.
Passo 2
A área entre a curva e o eixo x é dada por
. Aqui usamos valor absoluto porque queremos área positiva.
Passo 3
Precisamos descobrir onde
muda de sinal para dividir a integral. Sabemos que
em
. Entre esses pontos, o sinal de
é:
[0, \pi]: positivo
[\pi, 2\pi]: negativo
[2\pi, 3\pi]: positivo
[0, \pi]: positivo
[\pi, 2\pi]: negativo
[2\pi, 3\pi]: positivo
Passo 4
Vamos calcular a contribuição em cada pedaço:
Para [0, \pi], temos . Então
Para [0, \pi], temos
Passo 5
Para [\pi, 2\pi],
é negativo, logo
. Assim
Passo 6
Para [2\pi, 3\pi],
volta a ser positivo, então
. Temos
Passo 7
Somando tudo, a área total é
.
Resposta
12