Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime prime+3 y^prime prime-4 x^prime-12 y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes: y''' + 3y'' - 4y' - 12y = 0. O assunto aqui é EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, e a gente vai usar o método do polinômio característico.

Passo 2

No método do polinômio característico, a gente supõe uma solução do tipo y = e^rx. Substituindo as derivadas, obtemos o polinômio
r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = 0

Passo 3

Para resolver esse polinômio, testamos raízes inteiras. Vendo que r = 2 zera o polinômio, dividimos por (r - 2) e achamos o fator quadrático r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3). Assim, as raízes são r = 2, -2, -3.

Passo 4

Quando as raízes do polinômio característico são reais e distintas, a solução geral da EDO é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes a cada raiz.

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 e^-3x

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