Em cada caso, encontre a área da região limitada pelas curvas dadas: y=sin 2 x, y=x+2, x=0 e x=pi2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=sin(2x), y=x+2, e pelas retas verticais x=0 e x=tfracpi2. O conteúdo envolve integração definida e área entre curvas, então vamos precisar identificar qual função está acima da outra e montar a integral da diferença.

Passo 2

Para ver quem está acima, note que em [0,tfracpi2] temos sin(2x) variando de 0 a 0 (com máximo 1 em x=tfracpi4), enquanto x+2 varia de 2 a 2+tfracpi2. Logo, x+2 é sempre maior que sin(2x) nesse intervalo.
A área procurada é a integral da função de cima menos a de baixo:
A=integral0^tfracpi2l[(x+2)-sin(2x)r],dx

Passo 3

Agora, para resolver a integral, separamos em duas partes:
integral0^tfracpi2(x+2),dxeintegral0^tfracpi2sin(2x),dx

Passo 4

Para a primeira parte, usamos a antiderivada de x e de constante:
integral0^tfracpi2(x+2),dx=[x^22+2x]0^tfracpi2=(tfracpi2)^22+2cdotpi2=pi^28+pi

Passo 5

Para a segunda parte, fazemos a substituição u=2x, du=2,dx:
integral0^tfracpi2sin(2x),dx=12integral0^pisin u,du=12l[-cos ur]0^pi=12(2)=1

Passo 6

Subtraindo a segunda parte da primeira, obtemos a área desejada:
A = pi^28 + pi - 1

Resposta

A=pi^28+pi-1

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