Em cada caso, encontre as compostas
e
. Determine domínio e imagem de ambas, e traçe os seus respectivos gráficos.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as funções compostas
e
onde
Precisamos obter:
• A expressão de cada composta.
• O domínio de definição de cada uma.
• A imagem (conjunto‐alvo) de cada uma.
• Uma descrição do gráfico de cada composta (formas, assíntotas, máximos/mínimos).
• A expressão de cada composta.
• O domínio de definição de cada uma.
• A imagem (conjunto‐alvo) de cada uma.
• Uma descrição do gráfico de cada composta (formas, assíntotas, máximos/mínimos).
Passo 2
Calcular
e seu domínio.
Para existir
é preciso que
esteja definido, logo
. Como
aceita todo real,
Passo 3
Determinar a imagem de
.
- Derivada
,
zerando em. - Valores críticos
- Limites nas fronteiras do domínio
,
.
Comonão faz parte do domínio, .
Logo a imagem é
Passo 4
Esboço do gráfico de
:
- É função ímpar, com dois ramos (um em
, outro em ). - Máximo local em
, mínimo em . - Cada ramo tende a zero quando
(valor não alcançado) e quando . - Não há assíntotas verticais exceto ponto removido em
; assíntota horizontal é .
Passo 5
Calcular
e seu domínio.
Para existir é preciso
, isto é
. Portanto
Passo 6
Determinar a imagem de
.
- Derivada
,
zerando em. - Valores críticos
- Limites
,
.
Logo a imagem é
Passo 7
Esboço do gráfico de
:
- Dois ramos, um em
e outro em . - Vertical assíntota em
. - Mínimo local em
e máximo local em . - Para
, comporta-se como reta (assíntota oblíqua).
Resposta
f ∘ g(x)=
,
Domínio ,
Imagem .
Domínio
Imagem
g ∘ f(x)=
,
Domínio ,
Imagem .
Domínio
Imagem