Em cada caso, encontre as compostas f circ g e g circ f. Determine domínio e imagem de ambas, e traçe os seus respectivos gráficos.
f(x)=x1+x^2, g(x)=1x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as funções compostas
,fcirc g e ,gcirc f onde
f(x)=x1+x^2, g(x)=1x
Precisamos obter:
• A expressão de cada composta.
• O domínio de definição de cada uma.
• A imagem (conjunto‐alvo) de cada uma.
• Uma descrição do gráfico de cada composta (formas, assíntotas, máximos/mínimos).

Passo 2

Calcular ,fcirc g e seu domínio.
fl(g(x)r) =f!l(tfrac1xr) =1x1+l(1xr)^2 =tfrac1xtfracx^2+1x^2 =1xcdotx^2x^2+1 =x,x^2+1,
Para existir fcirc g é preciso que g(x) esteja definido, logo xneq0. Como f aceita todo real,
Dom(fcirc g)=Rsetminus0

Passo 3

Determinar a imagem de ,fcirc g(x)=tfracxx^2+1.
  1. Derivada
    h'(x) =(x^2+1)-2x^2(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2,
    zerando em x=pm1.
  2. Valores críticos
h(1)=12, h(-1)=-12
  1. Limites nas fronteiras do domínio
    limxto0^pmh(x)=0^pm,
    limxtopminftyh(x)=0.
    Como x=0 não faz parte do domínio, h(x)neq0.
    Logo a imagem é
Im(fcirc g) =l[-tfrac12,0r);cup;l(0,tfrac12r]

Passo 4

Esboço do gráfico de ,fcirc g(x)=tfracxx^2+1:
  • É função ímpar, com dois ramos (um em x<0, outro em x>0).
  • Máximo local em (1,tfrac12), mínimo em (-1,-tfrac12).
  • Cada ramo tende a zero quando xto0 (valor não alcançado) e quando xtopminfty.
  • Não há assíntotas verticais exceto ponto removido em x=0; assíntota horizontal é y=0.

Passo 5

Calcular ,gcirc f e seu domínio.
gl(f(x)r) =g!l(x1+x^2r) =1x1+x^2 =1+x^2x =x+1x
Para existir é preciso f(x)neq0, isto é xneq0. Portanto
Dom(gcirc f)=Rsetminus0

Passo 6

Determinar a imagem de ,gcirc f(x)=x+1x.
  1. Derivada
    k'(x)=1-1x^2,
    zerando em x=pm1.
  2. Valores críticos
k(1)=2, k(-1)=-2
  1. Limites
    limxto0^pm(x+tfrac1x)=pminfty,
    limxtopminfty(x+tfrac1x)=pminfty.
    Logo a imagem é
Im(gcirc f) =(-infty,-2];cup;[2,infty)

Passo 7

Esboço do gráfico de ,gcirc f(x)=x+tfrac1x:
  • Dois ramos, um em x>0 e outro em x<0.
  • Vertical assíntota em x=0.
  • Mínimo local em (1,2) e máximo local em (-1,-2).
  • Para |x|toinfty, comporta-se como reta y=x (assíntota oblíqua).

Resposta

f ∘ g(x)= tfracxx^2+1,
Domínio Rsetminus0,
Imagem l[-tfrac12,0r)cupl(0,tfrac12r].
g ∘ f(x)= ;x+tfrac1x,
Domínio Rsetminus0,
Imagem (-infty,-2]cup[2,infty).

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