Em cada caso, encontre as compostas f circ g e g circ f. Determine domínio e imagem de ambas, e traçe os seus respectivos gráficos.
f(x)=raizx, g(x)=sin (x).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=raizx
e
g(x)=sin(x),
e pede para encontrarmos as compostas fcirc g e gcirc f, bem como seus domínios, imagens e os gráficos. Vamos usar a definição de composição de funções, verificar as condições de existência em cada caso e depois descrever como esboçar cada gráfico.

Passo 2

Para fcirc g calculamos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=raizsin(x)
Para que raizsin(x) esteja bem definido em R precisamos ter
sin(x)>=0
Logo o domínio é
Dom(fcirc g)=,xinRmid sin(x)>=0 =cupkinZ[2pi k,;pi+2pi k]
Nesses intervalos sin(x) varia de 0 a 1, portanto
Im(fcirc g)=[0,1]
O gráfico é obtido em cada intervalo [2pi k,pi+2pi k] como a curva que em x=2pi k vale 0, atinge 1 em x=2pi k+tfracpi2 e volta a 0 em x=2pi k+pi, repetindo-se a cada período 2pi.

Passo 3

Para gcirc f temos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=sinl(raizxr)
Aqui raizx exige x>=0, então
Dom(gcirc f)=[0,infty)
Como raizx percorre todo [0,infty), o seno assume todos os valores de -1 a 1. Assim
Im(gcirc f)=[-1,1]
O esboço do gráfico parte de (0,0), e conforme x cresce a função oscila entre -1 e 1. O “período em x” aumenta com x, pois para completar uma oscilação é preciso que raizx aumente em 2pi, o que torna as cristas progressivamente mais afastadas.

Resposta

fcirc g(x)=raizsin(x),
Dom(fcirc g)=cupkinZ[2pi k,pi+2pi k], Im(fcirc g)=[0,1]
gcirc f(x)=sinl(raizxr),
Dom(gcirc f)=[0,infty), Im(gcirc f)=[-1,1]

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