Em cada caso, encontre as compostas
e
. Determine domínio e imagem de ambas, e traçe os seus respectivos gráficos.
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e
e pede para encontrarmos as compostas
e
, bem como seus domínios, imagens e os gráficos. Vamos usar a definição de composição de funções, verificar as condições de existência em cada caso e depois descrever como esboçar cada gráfico.
Passo 2
Para
calculamos
Para que
esteja bem definido em
precisamos ter
Logo o domínio é
Nesses intervalos
varia de
a
, portanto
O gráfico é obtido em cada intervalo
como a curva que em
vale
, atinge
em
e volta a
em
, repetindo-se a cada período
.
Passo 3
Para
temos
Aqui
exige
, então
Como
percorre todo
, o seno assume todos os valores de
a
. Assim
O esboço do gráfico parte de
, e conforme
cresce a função oscila entre
e
. O “período em
” aumenta com
, pois para completar uma oscilação é preciso que
aumente em
, o que torna as cristas progressivamente mais afastadas.