Em cada caso, encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos:
(-1,-2) e \left(-\frac{1}{2}, 3\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação geral da reta que passa pelos pontos (-1,-2) e \left(-\tfrac{1}{2},3\right).
Dados fornecidos:
  • Primeiro ponto: P_1 = (-1,-2).
  • Segundo ponto: P_2 = \left(-\tfrac{1}{2},3\right).
O que queremos: uma equação na forma geral Ax + By + C = 0 que represente a reta que passa por esses dois pontos.

Passo 2

Vamos começar encontrando a inclinação (coeficiente angular) da reta, chamada de declive ou m. A fórmula do declive entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Explicando essa fórmula: o numerador y_2-y_1 é quanto a coordenada vertical (o y) mudou entre os pontos, e o denominador x_2-x_1 é quanto a coordenada horizontal (o x) mudou. A razão diz quantos unidades subimos (ou descemos, se negativo) por unidade que andamos à direita.

Passo 3

Calculemos m com nossos pontos:
x_1 = -1,\quad y_1 = -2,\quad x_2 = -\tfrac{1}{2},\quad y_2 = 3.
Primeiro o denominador:
x_2 - x_1 = -\tfrac{1}{2} - (-1) = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}.
Agora o numerador:
y_2 - y_1 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.
Portanto
m = \frac{5}{\tfrac{1}{2}}.
Dividir por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2, logo
m = 5 \cdot 2 = 10.
Ou seja, a reta sobe 10 unidades em y para cada 1 unidade em x.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta. Se a reta tem declive m e passa pelo ponto (x_0,y_0), a equação é
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Aqui x_0 e y_0 são as coordenadas de um ponto conhecido na reta; podemos usar qualquer um dos dois pontos dados.

Passo 5

Usando m = 10 e o ponto P_1 = (-1,-2), substituímos na fórmula ponto-inclinação:
y - (-2) = 10\bigl(x - (-1)\bigr).
Simplificando sinais:
y + 2 = 10(x + 1).
Distribuindo o 10 no lado direito:
y + 2 = 10x + 10.

Passo 6

Agora vamos transformar essa equação para a forma geral Ax + By + C = 0. Subtraindo y e 10 em ambos os lados para levar tudo ao lado esquerdo:
y + 2 - 10x - 10 = 0.
Organizando os termos (colocando x primeiro, depois y, depois constante):
-10x + y - 8 = 0.
É comum escolher A>0. Multiplicando a equação inteira por -1 obtemos uma forma equivalente com A>0:
10x - y + 8 = 0.
Aqui A = 10, B = -1, C = 8.

Passo 7

Verificação rápida: vamos checar que o outro ponto P_2 = \left(-\tfrac{1}{2},3\right) satisfaz a equação. Substituindo:
10\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) - 3 + 8 = -5 - 3 + 8 = 0.
Como dá 0, o ponto está na reta — verificação concluída.

Resposta

10x - y + 8 = 0

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