Em cada caso, encontre equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada em seu ponto indicado:
(a)
(b)
; ©
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, em cada item, as equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície no ponto indicado. Vamos usar gradiente para superfícies definidas implicitamente e derivadas parciais para grafos, sabendo que a equação geral do plano tangente em um ponto
é
e que a reta normal tem direção dada pelo vetor gradiente.
Passo 2
Para (a)
no ponto
: definimos
. O gradiente é
, que em
vale
. Logo o plano tangente satisfaz
e a reta normal tem equações paramétricas
Passo 3
Para (b)
no ponto
: tomamos
. As parciais são
Em
temos
,
,
. O plano tangente é
que equivale a
. A reta normal é
Passo 4
Para ©
no ponto
: escrevemos
. Calculamos
Em
dá
,
,
. O plano tangente é
i.e.
. A reta normal é
Resposta
(a) Plano tangente:
. Reta normal:
.
(b) Plano tangente: . Reta normal:
.
© Plano tangente: . Reta normal:
.
(b) Plano tangente:
© Plano tangente: