Em cada caso, encontre equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada em seu ponto indicado:
(a) x^2+y^2+z^2=17 ;(2,2,3) ; (b) x^2 / 3+y^2 / 3+z^2 / 3=14 ;(8,27,1); © y=e^x cos z ;(1, e, 0);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em cada item, as equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície no ponto indicado. Vamos usar gradiente para superfícies definidas implicitamente e derivadas parciais para grafos, sabendo que a equação geral do plano tangente em um ponto (x0,y0,z0) é Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0 e que a reta normal tem direção dada pelo vetor gradiente.

Passo 2

Para (a) x^2+y^2+z^2=17 no ponto (2,2,3): definimos F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-17. O gradiente é nabla F=(2x,2y,2z), que em (2,2,3) vale (4,4,6). Logo o plano tangente satisfaz
4(x-2)+4(y-2)+6(z-3)=0
e a reta normal tem equações paramétricas
x=2+4t, y=2+4t, z=3+6t

Passo 3

Para (b) x^2/3+y^2/3+z^2/3=14 no ponto (8,27,1): tomamos
F(x,y,z)=x^2/3+y^2/3+z^2/3-14. As parciais são
Fx=tfrac23x^-1/3, Fy=tfrac23y^-1/3, Fz=tfrac23z^-1/3
Em (8,27,1) temos Fx=1/3, Fy=2/9, Fz=2/3. O plano tangente é
tfrac13(x-8)+tfrac29(y-27)+tfrac23(z-1)=0
que equivale a 3x+2y+6z-84=0. A reta normal é
x=8+tfrac13t, y=27+tfrac29t, z=1+tfrac23t

Passo 4

Para © y=e^xcos z no ponto (1,e,0): escrevemos F(x,y,z)=y-e^xcos z. Calculamos
Fx=-e^xcos z, Fy=1, Fz=e^xsin z
Em (1,e,0) Fx=-e, Fy=1, Fz=0. O plano tangente é
-e(x-1)+1(y-e)+0(z-0)=0
i.e. y=ex. A reta normal é
x=1-et, y=e+t, z=0

Resposta

(a) Plano tangente: 2x+2y+3z-17=0. Reta normal: x=2+4t, y=2+4t, z=3+6t.
(b) Plano tangente: 3x+2y+6z-84=0. Reta normal: x=8+tfrac13t, y=27+tfrac29t, z=1+tfrac23t.
© Plano tangente: y=ex. Reta normal: x=1-et, y=e+t, z=0.

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