Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de funções trigonométricas (não dê resultados aproximados):
(a) cos :[0, pi] [-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para definir e esboçar o gráfico da função inversa de cos quando restringida ao domínio [0,pi]. O conteúdo aqui é função inversa e invertibilidade: vamos precisar mostrar que cos é bijetora em [0,pi] e então definir arccos.

Passo 2

Mostramos que cos:[0,pi]to[-1,1] é bijetora porque é contínua e estritamente decrescente em [0,pi]. Assim, para cada yin[-1,1] existe um único xin[0,pi] tal que cos(x)=y, garantindo existência e unicidade da inversa.

Passo 3

Definimos a inversa como arccos:[-1,1]to[0,pi], dada por
arccos(y)=xse e somente secos(x)=y;e;xin[0,pi]

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y=arccos(x), refletimos o gráfico de y=cos(x) em torno da reta y=x. Assim obtemos uma curva decrescente em [-1,1], que satisfaz os pontos principais:
(-1,,pi),;(0,,tfracpi2),;(1,,0)
Entre esses pontos a curva é lisa, começa em (-1,pi), desce passando por (0,tfracpi2) e termina em (1,0).

Resposta

A inversa de cos:[0,pi]to[-1,1] é arccos:[-1,1]to[0,pi], definida por
arccos(y)=xLeftrightarrowcos(x)=y,;xin[0,pi]
O gráfico de y=arccos(x) é uma curva decrescente em [-1,1], passando pelos pontos (-1,pi),,(0,tfracpi2),,(1,0), obtida pela reflexão de y=cos(x) sobre a reta y=x.

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