Deduza fórmulas em termos de sen theta e cos theta de:
© cos 4 theta

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a expressão de cos4theta em termos de sintheta e costheta. Para isso, vamos usar as fórmulas de soma de ângulos e as fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Lembrando da fórmula de soma para o cosseno: cos(a+b)=cos acos b-sin asin b. Para a=b=theta temos:
cos2theta=cos^2theta-sin^2theta

Passo 3

A fórmula de soma para o seno é sin(a+b)=sin acos b+cos asin b. Aplicando em a=b=theta obtemos:
sin2theta=2sintheta,costheta

Passo 4

Agora usamos a fórmula de ângulo duplo em 2theta+2theta para escrever cos4theta:
cos4theta=cos^2(2theta)-sin^2(2theta)

Passo 5

Substituindo cos2theta=cos^2theta-sin^2theta e sin2theta=2sinthetacostheta, expandimos e simplificamos:
cos4theta=(cos^2theta-sin^2theta)^2-(2sinthetacostheta)^2 =cos^4theta-6sin^2thetacos^2theta+sin^4theta

Resposta

cos4theta=cos^4theta-6sin^2thetacos^2theta+sin^4theta

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