Encontre os três pontos pertencentes à superfície xy+z-2=0, nos quais a reta normal à superfície passa pela origem;

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da superfície xy+z-2=0 cujas retas normais passam pela origem. Esse é um problema de superfícies em 3D: vamos usar o gradiente de F(x,y,z)=xy+z-2 para obter a direção normal e a equação paramétrica da reta normal.

Passo 2

O gradiente de F é dado por
nabla F(x,y,z) = l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) = (y,;x,;1)
No ponto (x0,y0,z0) da superfície, a reta normal é
ell:; (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t,(y0,x0,1)

Passo 3

Para que ell passe pela origem, deve existir t tal que
(x0,y0,z0) + t,(y0,x0,1) = (0,0,0)
Isso gera o sistema:
x0 + t,y0 = 0, y0 + t,x0 = 0, z0 + t = 0, x0y0 + z0 - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da terceira equação vem z0=-t. Substituindo em x0y0+z0-2=0 temos x0y0=t+2. Das duas primeiras:
x0 + t y0=0 e y0 + t x0=0 surge y0=0 ou t^2=1.
  • Se y0=0, então x0=0 e de x0y0=t+2 obtemos t=-2 e z0=2.
  • Se t^2=1, temos t=1 (sem solução real) ou t=-1. Para t=-1 vem x0=y0 e x0^2=1, isto é x0=y0=pm1, com z0=1.
    Portanto, há três pontos possíveis.

Resposta

Os três pontos são
$ (0,0,2),; (1,1,1) $ e $ (-1,-1,1) $.

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