Encontre os três pontos pertencentes à superfície , nos quais a reta normal à superfície passa pela origem;
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos da superfície cujas retas normais passam pela origem. Esse é um problema de superfícies em 3D: vamos usar o gradiente de para obter a direção normal e a equação paramétrica da reta normal.
Passo 2
O gradiente de é dado por
No ponto da superfície, a reta normal é
Passo 3
Para que passe pela origem, deve existir tal que
Isso gera o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema: da terceira equação vem z0=-t. Substituindo em x0y0+z0-2=0 temos x0y0=t+2. Das duas primeiras: x0 + t y0=0 e y0 + t x0=0 surge y0=0 ou t^2=1.
Se y0=0, então x0=0 e de x0y0=t+2 obtemos t=-2 e z0=2.
Se t^2=1, temos t=1 (sem solução real) ou t=-1. Para t=-1 vem x0=y0 e x0^2=1, isto é x0=y0=pm1, com z0=1.
Portanto, há três pontos possíveis.
Resposta
Os três pontos são
$ (0,0,2),; (1,1,1) $ e $ (-1,-1,1) $.