Em cada caso, encontre a geratriz (g) e o eixo de rotação ( l ) da superfície de revolução S.
S: x^2+y^2-z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para identificar, na superfície
S:;x^2+y^2-z^2=4,
qual é a curva geratriz g que, ao girar em torno de um eixo l, gera S. O conteúdo aqui é “superfície de revolução”: reconhecemos uma curva plana que, ao ser girada em torno de um eixo, descreve toda a superfície.

Passo 2

Para ver que S é uma revolução em torno do eixo z, passamos a coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com r=raizx^2+y^2. A equação vira
r^2-z^2=4
Isso mostra que a curva geratriz vive no plano que contém o eixo z (por exemplo, no plano y=0), e satisfaz r^2-z^2=4.

Passo 3

Escolhendo o plano y=0, temos r=|x|. A geratriz g pode ser descrita como
g=(x,0,z)mid x^2-z^2=4,;x>=0
Em forma paramétrica, por exemplo,
g(t)=l(2cosh t,,0,,2sinh tr), tinR

Passo 4

O eixo de revolução l é o conjunto de pontos que ficam fixos quando giramos: é o eixo z, isto é
l=(0,0,z)mid zinR

Resposta

Geratriz
g=(x,0,z)mid x^2-z^2=4,;x>=0,
e eixo de revolução
l=(0,0,z)mid zinR

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