Seja y in ellinfty fixado. Considere o operador My: ellinfty ellinfty dado por My(x)= (xn yn)n in N. Mostre que My está bem definido, é contínuo e calcule sua norma. Faça o mesmo mas considerando My: ell1 ell1.

Passo 1

O enunciado fixa uma sequência y=(yn)ninNinellinfty e define o operador
Mycolon Xto X, My(x)=(,xnyn,)ninN,
primeiro para X=ellinfty e depois para X=ell1. Precisamos mostrar que My leva cada espaço em si mesmo (bem-definido), que é contínuo (ou seja, limitado) e calcular
|My|=sup|x|X=1|My(x)|X

Passo 2

Considere
logo e
Isto mostra que é linear e limitado, portanto contínuo, com
Para ver que de fato , escolha índices tais que e defina
Então .

Passo 3

Agora
Logo , o operador é linear e limitado, de modo que
Para a igualdade, basta concentrar toda a massa de no índice onde quase atinge . Defina
agora . Logo .

Resposta

Para ambos os casos, My é bem-definido, contínuo (linear e limitado) e
boxed|My|=|y|infty

Exercícios relacionados