Seja
fixado. Considere o operador
dado por
. Mostre que
está bem definido, é contínuo e calcule sua norma. Faça o mesmo mas considerando
.
Passo 1
O enunciado fixa uma sequência
e define o operador
primeiro para
e depois para
. Precisamos mostrar que
leva cada espaço em si mesmo (bem-definido), que é contínuo (ou seja, limitado) e calcular
Passo 2
Considere
logo
e
Isto mostra que
é linear e limitado, portanto contínuo, com
Para ver que de fato
, escolha índices
tais que
e defina
Então .
Passo 3
Agora
Logo
, o operador é linear e limitado, de modo que
Para a igualdade, basta concentrar toda a massa de
no índice
onde
quase atinge
. Defina
agora . Logo
.
Resposta
Para ambos os casos,
My é bem-definido, contínuo (linear e limitado) e