Sejam T, S: C[a, b] C[a, b] definidos por
T(f)(t)=t integrala^b f(s) d s e S(f)(t)=t f(t)
Calcule |T|,|S|,|T circ S| e |S circ T|.

Passo 1

O enunciado define dois operadores lineares em C[a,b] munida da norma de supremo
|f|infty=suptin[a,b]|f(t)|.
Queremos calcular as normas
|T|, |S|, |Tcirc S| e |Scirc T|, usando a definição
|A|=sup|f|infty=1|A(f)|infty

Passo 2

Para T temos
T(f)(t)=tintegrala^b f(s),ds
Logo, para |f|infty=1,
|T(f)(t)|<= |t|integrala^b|f(s)|,ds<= l(supuin[a,b]|u|r),(b-a)
Escolhendo f(s)=sgn(t0) constante com |f|=1 e t0 tal que |t0|=sup|t|, alcançamos a igualdade. Portanto
|T|=(b-a),suptin[a,b]|t|

Passo 3

Para S temos
S(f)(t)=t,f(t)
Se |f|infty=1, então
|S(f)(t)|<= |t|cdot1,
e basta escolher f concentrado no ponto que atinge sup|t| para ter igualdade. Logo
|S|=suptin[a,b]|t|

Passo 4

Para Tcirc S vale
(Tcirc S)(f)(t) = Tl(smapsto s,f(s)r)(t) = tintegrala^b s,f(s),ds
Novamente, para |f|infty=1,
|(Tcirc S)(f)(t)|<= |t|integrala^b|s|,ds <= l(supuin[a,b]|u|r)integrala^b|s|,ds,
e a igualdade ocorre com f(s)=sgn(s). Portanto
|Tcirc S| =l(suptin[a,b]|t|r)integrala^b|s|,ds

Passo 5

Para Scirc T temos
(Scirc T)(f)(t) = Sl(umapsto u!integrala^b f(s),dsr)(t) = t^2!integrala^b f(s),ds
Se |f|infty=1 então
|(Scirc T)(f)(t)|<= t^2,(b-a) <= l(supuin[a,b]u^2r),(b-a) =l(supuin[a,b]|u|r)^2,(b-a),
e a igualdade ocorre com f constante igual a pm1. Logo
|Scirc T|=(b-a),l(suptin[a,b]|t|r)^2

Resposta

|T|=(b-a),suptin[a,b]|t|, |S|=suptin[a,b]|t|,
|Tcirc S|=l(suptin[a,b]|t|r)!integrala^b|s|,ds, |Scirc T|=(b-a),l(suptin[a,b]|t|r)^2

Exercícios relacionados