Em cada caso, encontre a geratriz (g) e o eixo de rotação ( l ) da superfície de revolução S.
S: x^2+y^2=|z|.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida por
x^2+y^2=|z|
e pede para encontrar a geratriz (g) e o eixo de rotação (l) dessa superfície de revolução. O conteúdo aqui é reconhecer a simetria rotacional em torno de um eixo e obter a curva geratriz pela interseção com um plano que contenha esse eixo.

Passo 2

Como a equação de S depende apenas de x^2+y^2, há simetria de revolução em torno do eixo dos z. Logo, o eixo de rotação é
l: (0,0,z)mid zinR

Passo 3

Para achar a geratriz, intersectamos S com um plano que contenha o eixo l. A escolha mais simples é o plano y=0. Nesse plano, a equação de S vira
x^2+0^2=|z|Longrightarrow x^2=|z|

Passo 4

Devemos agora separar os casos do valor absoluto:
Para z>=0, tem-se
x^2=z,
que é uma parábola voltada para cima no plano y=0.
Para z<=0, tem-se
x^2=-z,
que é uma parábola voltada para baixo no mesmo plano.

Passo 5

A geratriz g é a união desses dois ramos parabólicos no plano y=0:
g:(x,0,z)mid z=x^2 ou z=-x^2

Resposta

g: curva no plano y=0 dada pelas parábolas z=x^2 ( z>=0) e z=-x^2 ( z<=0).
l: eixo dos z, ou seja (0,0,z)mid zinR.

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