Em cada caso, encontre a matriz A.
(5 A)^{T}=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre a transposta de 5A e a inversa de uma matriz conhecida. Especificamente:
  • A informação dada é \\ (5A)^{T}=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]^{-1}.
  • A pergunta é: encontrar a matriz A.

Passo 2

Vamos organizar o que podemos usar diretamente. Para manipular matrizes com transposta e inversa, recorde duas propriedades úteis (apenas enunciadas aqui; vamos usá-las logo em seguida):
  • A transposta de um escalar vezes uma matriz satisfaz \\ (cB)^{T}=c\,B^{T} para qualquer escalar c.
  • A dupla transposta reverte a matriz: \\ (X^{T})^{T}=X.
A partir de \\ (5A)^{T}=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]^{-1}, uma forma direta de isolar A é aplicar transposta aos dois lados para “desfazer” a transposição do lado esquerdo.

Passo 3

Aplicando transposta em ambos os lados:
\big((5A)^{T}\big)^{T}=\left(\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]^{-1}\right)^{T}.
Pelo fato da dupla transposta, o lado esquerdo fica 5A. Logo
5A=\left(\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]^{-1}\right)^{T}.
Portanto
A=\frac{1}{5}\left(\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]^{-1}\right)^{T}.

Passo 4

Agora precisamos calcular a inversa da matriz \displaystyle M=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -1 & 4\end{array}\right].
Para uma matriz 2\times2
\left[\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right],
a inversa (quando existe) é dada por
\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d & -b\\\\ -c & a\end{array}\right],
onde ad-bc é o determinante. Aqui temos a=2, b=-3, c=-1, d=4. Calculando o determinante:
\det(M)=ad-bc=2\cdot4-(-3)\cdot(-1)=8-3=5.
Como \det(M)=5\neq0, a inversa existe. Aplicando a fórmula da inversa:
M^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr}4 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right].

Passo 5

Agora tomamos a transposta de M^{-1}:
\left(M^{-1}\right)^{T}=\left(\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr}4 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]\right)^{T}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr}4 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right].
Lembrando da expressão do Passo 3, 5A=\left(M^{-1}\right)^{T}. Substituindo:
5A=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr}4 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right].
Dividindo ambos os lados por 5 (ou multiplicando por 1/5):
A=\frac{1}{25}\left[\begin{array}{rr}4 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right].

Passo 6

Fazer uma checagem rápida é sempre bom para ganhar confiança. Multiplicando A por 5 e transpondo, deve-se obter M^{-1}:
5A=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr}4 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right], \qquad (5A)^{T}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr}4 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]=M^{-1},
que coincide com o M^{-1} calculado no Passo 4. Portanto a solução está consistente.

Resposta

A=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{25} & \dfrac{1}{25}\\[6pt]\dfrac{3}{25} & \dfrac{2}{25}\end{pmatrix}]

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