Se uma curva no plano cartesiano é uma cônica então as coordenadas dos pontos da curva satisfazem uma equação do tipo: a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0, em que: a, b e c é diferente de zero, e a curva, então, será:
uma elipse, se e somente se, b² = 4.a.c < 0 .
Passo 1
O enunciado dá a equação geral de uma cônica
a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0,
com a, b e c diferentes de zero, e afirma que "a curva será uma elipse se e somente se b^{2}=4ac<0". O que precisamos esclarecer é qual é a condição correta envolvendo a, b e c que caracteriza uma elipse (ou pelo menos caracteriza o caso em que a parte quadrática da cônica é definida como elíptica).
Informações relevantes dadas:
Coeficientes da parte quadrática: a, b, c (todos não nulos).
A afirmação a ser verificada/corrigida: b^{2}=4ac<0.
Passo 2
Transformar a parte quadrática numa forma matricial para entender o papel de a, b e c.
A parte quadrática pode ser escrita como forma bilinear usando a matriz simétrica M:
\begin{aligned} Q(x,y) &= a x^{2}+b x y+c y^{2} \\\ &= \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \tfrac{b}{2} \\[4pt] \tfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\[2pt] y\end{pmatrix}. \end{aligned}
Aqui explique o que é cada coisa:
M=\begin{pmatrix} a & \tfrac{b}{2} \\[4pt] \tfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} é a matriz que representa a parte quadrática.
Q(x,y) é o polinômio quadrático em x,y.
A natureza geométrica da cônica (elipse, parábola, hipérbole) depende essencialmente da forma quadrática representada por M (após considerar também as partes lineares e constante).
Um invariant importante é o determinante de M:
\det(M)=a c -\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2} = \frac{4ac-b^{2}}{4}.]
Passo 3
Interpretar o sinal de \det(M) e ligar isso à classificação da cônica.
Se \det(M)>0 então os autovalores de M têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Isso significa que Q(x,y) é definida positiva ou definida negativa (ou seja, soma de dois quadrados com sinais iguais após uma rotação). Geometricamente, a parte quadrática é “do tipo elipse”.
Se \det(M)=0 então um dos autovalores é zero: a parte quadrática é degenerada numa direção — esse caso está ligado à parábola.
Se \det(M)<0 então os autovalores têm sinais opostos — a parte quadrática é do tipo hipérbole.
Agora converta a condição \det(M)>0 para uma desigualdade em a,b,c:
Portanto, a condição correta (sobre a parte quadrática) que indica uma estrutura elíptica é
b^{2}-4ac<0.
Passo 4
Explicar por que a expressão do enunciado está errada e dar um exemplo concreto.
A expressão dada no enunciado, b^{2}=4ac<0, é logicamente impossível: b^{2} é sempre maior ou igual a zero (pois é um quadrado), então não pode ser igual a um número negativo. Além disso, a igualdade b^{2}=4ac corresponde ao caso degenerado entre elipse e hipérbole (é a condição que leva a \det(M)=0, típica de parábola), não a elipse.
Exemplo numérico para fixar a ideia: tome a=2, b=1, c=2. Então
b^{2}-4ac = 1 - 16 = -15 < 0,
logo a parte quadrática é do tipo elíptico. Isso é consistente com \det(M)=\dfrac{4ac-b^{2}}{4}=\dfrac{16-1}{4}=\dfrac{15}{4}>0.
Observação importante (para a prova): dizer b^{2}-4ac<0 classifica a parte quadrática como “elíptica”. Para que a equação inteira represente uma elipse real não degenerada também é preciso que a cônica não seja degenerada por causa dos termos lineares e do termo constante. Uma verificação adicional é avaliar o determinante da matriz ampliada
\begin{vmatrix} a & \tfrac{b}{2} & \tfrac{d}{2} \\[4pt] \tfrac{b}{2} & c & \tfrac{e}{2} \\[4pt] \tfrac{d}{2} & \tfrac{e}{2} & f \end{vmatrix},
cujo valor diferente de zero indica não degenerescência; se essa matriz satisfizer as condições apropriadas e b^{2}-4ac<0, então a cônica é uma elipse real e não degenerada. Mas, para a classificação básica (elipse/parábola/hipérbole) a condição-chave é o sinal de b^{2}-4ac.]
Passo 5
Resumo didático e dica prática para a prova (jeito rápido de checar):
Calcule \Delta = b^{2}-4ac.
Se \Delta<0 então a parte quadrática é elíptica → a cônica é elipse (ou uma elipse degenerada/imaginary/um ponto, dependendo dos termos lineares e constante).
Se \Delta=0 então é parábola (parte quadrática degenerada).
Se \Delta>0 então é hipérbole.
Uma forma rápida e mental: pense em M. Se \det(M)>0 (ou seja b^{2}-4ac<0) a matriz é definida (os autovalores têm mesmo sinal) — esse é o sinal de “elipse”.