Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}24 x+32 y+28 z=36, \\\\ 6 x+12 z=3 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} -36 x-24 y-32 z & =-28 \\\\ -45 x-30 y-40 z & =-35 \end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}6 x+8 y+7 z=9, \\\\ 24 x+32 y+28 z=36, \\\\ 5 x+2 y=4 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 18 x+24 y+21 z=27 \\\\ 8 x+16 z=4 \end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}9 x+2 y+5 z=8 \\\\ 7 y+8 z=5 \\\\ 21 y+24 z=15\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 24 x+32 y+28 z=36 \\\\ 15 x+6 y=12 \\\ x=1 \end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}25 x+10 y=20, \\\\ -15 x-6 y=-12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 9 x+6 y+8 z=7 \\\\ 2 x+4 z=1 \\\\ -8 x-16 z=-4 \end{array}\right.
(E) \quad\left\{\begin{array}{r}6 x+8 y+7 z=9, \\\\ 5 x+2 y=4, \\\ x=1 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} -24 x-32 y-28 z=-36 \\\\ -10 x-20 z=-5 \end{array}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} 36 x+8 y+20 z & =32, \\\\ 21 y+24 z & =15 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} -24 x-32 y-28 z & =-36 \\\\ -30 x-40 y-35 z & =-45 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá, para cada alternativa (A) a (F), dois sistemas lineares em três variáveis [x,y,z). A pergunta é: em qual alternativa os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (isto é, são retas em \mathbb{R}^3)?
Vou listar claramente cada sistema que aparece em cada alternativa (copiando exatamente do enunciado):
  • (A) Sistema I:
    \begin{cases} 24x+32y+28z=36,\\[4pt] 6x+12z=3. \end{cases}
    Sistema II:
    \begin{cases} -36x-24y-32z=-28,\\[4pt] -45x-30y-40z=-35. \end{cases}
  • (B) Sistema I:
    \begin{cases} 6x+8y+7z=9,\\[4pt] 24x+32y+28z=36,\\[4pt] 5x+2y=4. \end{cases}
    Sistema II:
    \begin{cases} 18x+24y+21z=27,\\[4pt] 8x+16z=4. \end{cases}
  • (C) Sistema I:
    \begin{cases} 9x+2y+5z=8,\\[4pt] 7y+8z=5,\\[4pt] 21y+24z=15. \end{cases}
    Sistema II:
    \begin{cases} 24x+32y+28z=36,\\[4pt] 15x+6y=12,\\[4pt] x=1. \end{cases}
  • (D) Sistema I:
    \begin{cases} 25x+10y=20,\\[4pt] -15x-6y=-12. \end{cases}
    Sistema II:
    \begin{cases} 9x+6y+8z=7,\\[4pt] 2x+4z=1,\\[4pt] -8x-16z=-4. \end{cases}
  • (E) Sistema I:
    \begin{cases} 6x+8y+7z=9,\\[4pt] 5x+2y=4,\\[4pt] x=1. \end{cases}
    Sistema II:
    \begin{cases} -24x-32y-28z=-36,\\[4pt] -10x-20z=-5. \end{cases}
  • (F) Sistema I:
    \begin{cases} 36x+8y+20z=32,\\[4pt] 21y+24z=15. \end{cases}
    Sistema II:
    \begin{cases} -24x-32y-28z=-36,\\[4pt] -30x-40y-35z=-45. \end{cases}
O que precisamos verificar para cada sistema: se o conjunto solução é uma reta em (\mathbb{R}^3].]

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada devagarinho): para um sistema linear consistente em n variáveis (aqui n=3), o conjunto solução é um subespaço afim cuja dimensão é
\text{dimensão} = n - \operatorname{rank}(A),ã
onde A é a matriz dos coeficientes (não a aumentada). Explicando as palavras:
  • \operatorname{rank}(A) é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes da matriz A. Intuitivamente, é quantas equações independentes o sistema realmente impõe.
  • Se \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente, então a dimensão da solução é 3-2=1, isto é, uma reta.
  • Se \operatorname{rank}(A)=1, a solução (se existir) é um plano de dimensão 2.
  • Se \operatorname{rank}(A)=3 e consistente, a solução é um ponto (dimensão 0).
  • Se o sistema for inconsistente (equações contraditórias), não há conjunto solução.
Como detectar \operatorname{rank}(A)=1 ou 2 rápido: comparar linhas (equações). Se uma equação é múltiplo escalar exato de outra, então elas são linearmente dependentes. Se entre as linhas há pelo menos duas não proporcionais, o rank é \ge2; como só temos no máximo 2 ou 3 linhas, isso normalmente nos dá rank 1 ou 2 (ou 3 se há três linhas independentes). Também preciso checar consistência: se linhas são múltiplos entre coeficientes mas os termos constantes não obedecem à mesma razão, há contradição.
Agora vou analisar cada alternativa, sistematicamente, checando em cada sistema quantas equações independentes realmente existem e se há consistência.

Passo 3

Sistema:
\begin{cases} 24x+32y+28z=36,\\[4pt] 6x+12z=3. \end{cases}
Observações e checagem de independência:
  • A segunda equação tem coeficiente de y igual a 0, enquanto a primeira tem coeficiente de y igual a 32. Logo as duas equações não são múltiplos uma da outra (não há escalar \lambda tal que (24,32,28)=\lambda(6,0,12)). Portanto as duas linhas de A são linearmente independentes.
  • Consequentemente \operatorname{rank}(A)=2.
    Consistência:
  • Não há indicação de contradição imediata (duas equações lineares com coeficientes diferentes normalmente são compatíveis em \mathbb{R}); se necessário poderia resolver e verificar existência, mas não é necessário aqui: duas equações independentes em três incógnitas formam tipicamente uma reta de soluções.
    Conclusão para este sistema: conjunto-solução tem dimensão 3-2=1 (uma reta).]

Passo 4

Sistema:
\begin{cases} -36x-24y-32z=-28,\\[4pt] -45x-30y-40z=-35. \end{cases}
Verificação de proporcionalidade:
  • Calcule razão entre os coeficientes correspondentes: \frac{-36}{-45}=\frac{4}{5}=0{,}8,\qquad \frac{-24}{-30}=\frac{4}{5},\qquad \frac{-32}{-40}=\frac{4}{5}.
  • A razão entre os termos independentes é \frac{-28}{-35}=\frac{4}{5}.
Todas as razões coincidem ( 4/5), logo a segunda equação é exatamente \dfrac{5}{4} vezes a primeira (ou a primeira é \tfrac{4}{5} da segunda). As duas equações são linearmente dependentes e são consistentes entre si.
Conclusão para este sistema: \operatorname{rank}(A)=1 e, sendo consistente, a solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.]

Passo 5

Como em A o Sistema I tem dimensão 1 mas o Sistema II tem dimensão 2, a alternativa (A) não satisfaz que "ambos os conjuntos-solução têm dimensão 1".

Passo 6

Sistema:
\begin{cases} 6x+8y+7z=9,\\[4pt] 24x+32y+28z=36,\\[4pt] 5x+2y=4. \end{cases}
Análise de dependência:
  • Note que a segunda equação é 4 vezes a primeira: 24=4\cdot6,\;32=4\cdot8,\;28=4\cdot7,\;36=4\cdot9. Então a segunda é redundante (linearmente dependente da primeira).
  • Assim restam, essencialmente, duas equações independentes: 6x+8y+7z=9 e 5x+2y=4.
  • Essas duas não são proporcionais (a segunda não envolve z enquanto a primeira tem coeficiente de z igual a 7), então são independentes.
    Consistência:
  • Podemos até resolver para confirmar consistência: a partir de 5x+2y=4 temos y=(4-5x)/2. Substituindo em 6x+8y+7z=9 dá uma relação entre x e z que admite infinitas soluções paramétricas (uma reta). Portanto é consistente.
    Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão da solução é 3-2=1.]

Passo 7

Sistema:
\begin{cases} 18x+24y+21z=27,\\[4pt] 8x+16z=4. \end{cases}
Independência:
  • A segunda equação tem coeficiente de y igual a 0; a primeira tem coeficiente de y igual a 24. Não são proporcionais, logo são independentes.
    Consistência:
  • Resolver rapidamente: da segunda, 8x+16z=4 2x+4z=1 (dividindo por 4). Para quaisquer x,z que satisfaçam essa equação existe um y dado por y=\frac{27-18x-21z}{24},portanto sempre existe solução; o sistema é consistente.
    Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 3-2=1.]

Passo 8

Nos dois sistemas da alternativa (B) encontramos \operatorname{rank}(A)=2 e consistência, logo ambos têm conjuntos-solução de dimensão 1 (retas). Assim (B) satisfaz a condição pedida.

Passo 9

Sistema:
\begin{cases} 9x+2y+5z=8,\\[4pt] 7y+8z=5,\\[4pt] 21y+24z=15. \end{cases}
Dependência:
  • A terceira equação é 3 vezes a segunda: 21=3\cdot7,\;24=3\cdot8,\;15=3\cdot5. Logo é redundante.
  • Sobra o par 9x+2y+5z=8 e 7y+8z=5. Essas duas são independentes (uma envolve x enquanto a outra não).
    Consistência:
  • Dado 7y+8z=5 escolhe-se um parâmetro para, digamos, z; então y é determinado, e a primeira equação determina x. Sempre há soluções: consistente.
    Conclusão: sistema I de (C) tem \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 1.]

Passo 10

Sistema:
\begin{cases} 24x+32y+28z=36,\\[4pt] 15x+6y=12,\\[4pt] x=1. \end{cases}
Resolver em sequência:
  • A terceira equação dá imediatamente x=1.
  • Substituindo em 15x+6y=12 obtém-se 15\cdot1+6y=12\Rightarrow 6y=-3\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo x=1,\;y=-\tfrac{1}{2} na primeira equação determina z de forma única: 24\cdot1+32\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+28z=36
24-16+28z=36 \Rightarrow 28z=28 \Rightarrow z=1.
Conclusão: há exatamente uma solução (x,y,z)=(1,-\tfrac{1}{2},1). Logo \operatorname{rank}(A)=3 (ou equivalentemente sistema impõe três condições independentes) e a dimensão do conjunto-solução é 0, não 1. Assim (C) falha.]

Passo 11

Sistema:
\begin{cases} 25x+10y=20,\\[4pt] -15x-6y=-12. \end{cases}
Verificação de proporcionalidade:
  • Razões: \dfrac{-15}{25}=-\dfrac{3}{5},\\ \dfrac{-6}{10}=-\dfrac{3}{5},\\ \dfrac{-12}{20}=-\dfrac{3}{5}. Todas iguais, logo a segunda equação é múltiplo da primeira. As equações são dependentes e consistentes.
    Conclusão: \operatorname{rank}(A)=1 e dimensão do conjunto-solução é 3-1=2 (um plano), não uma reta. Então (D) já falha nesta parte.]

Passo 12

Sistema:
\begin{cases} 9x+6y+8z=7,\\[4pt] 2x+4z=1,\\[4pt] -8x-16z=-4. \end{cases}
Dependência entre segunda e terceira:
  • A terceira é -4 vezes a segunda: -4\cdot(2x+4z)= -8x-16z e -4\cdot1=-4. Logo segunda e terceira são dependentes.
  • As equações efetivas independentes são a primeira e a segunda; estas não são proporcionais (a primeira tem y presente, a segunda não), então \operatorname{rank}(A)=2.
    Conclusão: este sistema tem dimensão 1. Mas como o Sistema I já deu dimensão 2, a alternativa (D) não serve.]

Passo 13

Sistema:
\begin{cases} 6x+8y+7z=9,\\[4pt] 5x+2y=4,\\[4pt] x=1. \end{cases}
Resolver em cadeia:
  • Da terceira equação x=1.
  • Substituir em 5x+2y=4 5\cdot1+2y=4\Rightarrow 2y=-1\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}.
  • Substituir x=1,y=-\tfrac{1}{2} na primeira dá z único: 6\cdot1+8\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+7z=9\Rightarrow 6-4+7z=9\Rightarrow 7z=7\Rightarrow z=1.
Conclusão: solução única ( \operatorname{rank}(A)=3), dimensão 0. Não é reta.]

Passo 14

Sistema:
\begin{cases} -24x-32y-28z=-36,\\[4pt] -10x-20z=-5. \end{cases}
Observações:
  • As duas equações não são múltiplos entre si (por exemplo a razão entre coeficiente de x seria \tfrac{-24}{-10}=2{,}4 enquanto a razão entre coeficiente de y não está definida na segunda porque tem y nulo; não há proporcionalidade global). Assim \operatorname{rank}(A)=2 em geral.
  • Mesmo que este sistema individualmente pudesse ter dimensão 1, a alternativa E já falhou porque seu primeiro sistema tinha dimensão 0.
    Conclusão: (E) não serve.]

Passo 15

Sistema:
\begin{cases} 36x+8y+20z=32,\\[4pt] 21y+24z=15. \end{cases}
Independência:
  • Segunda equação não envolve x enquanto a primeira envolve x com coeficiente 36; portanto são independentes.
    Consistência:
  • Pode-se escolher, por exemplo, um parâmetro para z, obter y da segunda equação e então x da primeira; sempre existe solução (consistente).
    Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 1.]

Passo 16

Sistema:
\begin{cases} -24x-32y-28z=-36,\\[4pt] -30x-40y-35z=-45. \end{cases}
Proporcionalidade:
  • Calcule razões: \dfrac{-30}{-24}=\dfrac{5}{4}=1{,}25,\\ \dfrac{-40}{-32}=\dfrac{5}{4},\\ \dfrac{-35}{-28}=\dfrac{5}{4},\\ \dfrac{-45}{-36}=\dfrac{5}{4}. Todas iguais, logo uma equação é múltiplo escalar da outra e são consistentes entre si.
    Conclusão: \operatorname{rank}(A)=1 e dimensão 3-1=2. Portanto o Sistema II de (F) tem dimensão 2, não 1.]

Passo 17

Resumindo os resultados por alternativa (apenas para fixar):
  • (A): sistemas têm dimensões 1 e 2 → não serve.
  • (B): sistemas têm dimensões 1 e 1 → atende.
  • (C): sistemas têm dimensões 1 e 0 → não serve.
  • (D): sistemas têm dimensões 2 e 1 → não serve.
  • (E): sistemas têm dimensões 0 e 1 → não serve.
  • (F): sistemas têm dimensões 1 e 2 → não serve.
A única alternativa em que ambos os sistemas têm dimensão 1 é a alternativa (B).

Resposta

(B)

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