Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}24 x+32 y+28 z=36, \\\\ 6 x+12 z=3 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} -36 x-24 y-32 z & =-28 \\\\ -45 x-30 y-40 z & =-35 \end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} 36 x+8 y+20 z & =32, \\\\ 21 y+24 z & =15 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} -24 x-32 y-28 z & =-36 \\\\ -30 x-40 y-35 z & =-45 \end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá, para cada alternativa (A) a (F), dois sistemas lineares em três variáveis [x,y,z). A pergunta é: em qual alternativa os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (isto é, são retas em \mathbb{R}^3)?
Vou listar claramente cada sistema que aparece em cada alternativa (copiando exatamente do enunciado):
O que precisamos verificar para cada sistema: se o conjunto solução é uma reta em (\mathbb{R}^3].]
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada devagarinho): para um sistema linear consistente em n variáveis (aqui n=3), o conjunto solução é um subespaço afim cuja dimensão é
\text{dimensão} = n - \operatorname{rank}(A),ã
onde A é a matriz dos coeficientes (não a aumentada). Explicando as palavras:
\operatorname{rank}(A) é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes da matriz A. Intuitivamente, é quantas equações independentes o sistema realmente impõe.
Se \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente, então a dimensão da solução é 3-2=1, isto é, uma reta.
Se \operatorname{rank}(A)=1, a solução (se existir) é um plano de dimensão 2.
Se \operatorname{rank}(A)=3 e consistente, a solução é um ponto (dimensão 0).
Se o sistema for inconsistente (equações contraditórias), não há conjunto solução.
Como detectar \operatorname{rank}(A)=1 ou 2 rápido: comparar linhas (equações). Se uma equação é múltiplo escalar exato de outra, então elas são linearmente dependentes. Se entre as linhas há pelo menos duas não proporcionais, o rank é \ge2; como só temos no máximo 2 ou 3 linhas, isso normalmente nos dá rank 1 ou 2 (ou 3 se há três linhas independentes). Também preciso checar consistência: se linhas são múltiplos entre coeficientes mas os termos constantes não obedecem à mesma razão, há contradição.
Agora vou analisar cada alternativa, sistematicamente, checando em cada sistema quantas equações independentes realmente existem e se há consistência.
A segunda equação tem coeficiente de y igual a 0, enquanto a primeira tem coeficiente de y igual a 32. Logo as duas equações não são múltiplos uma da outra (não há escalar \lambda tal que (24,32,28)=\lambda(6,0,12)). Portanto as duas linhas de A são linearmente independentes.
Não há indicação de contradição imediata (duas equações lineares com coeficientes diferentes normalmente são compatíveis em \mathbb{R}); se necessário poderia resolver e verificar existência, mas não é necessário aqui: duas equações independentes em três incógnitas formam tipicamente uma reta de soluções.
Conclusão para este sistema: conjunto-solução tem dimensão 3-2=1 (uma reta).]
Calcule razão entre os coeficientes correspondentes:\frac{-36}{-45}=\frac{4}{5}=0{,}8,\qquad \frac{-24}{-30}=\frac{4}{5},\qquad \frac{-32}{-40}=\frac{4}{5}.
A razão entre os termos independentes é\frac{-28}{-35}=\frac{4}{5}.
Todas as razões coincidem (4/5), logo a segunda equação é exatamente \dfrac{5}{4} vezes a primeira (ou a primeira é \tfrac{4}{5} da segunda). As duas equações são linearmente dependentes e são consistentes entre si.
Conclusão para este sistema: \operatorname{rank}(A)=1 e, sendo consistente, a solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.]
Passo 5
Como em A o Sistema I tem dimensão 1 mas o Sistema II tem dimensão 2, a alternativa (A) não satisfaz que "ambos os conjuntos-solução têm dimensão 1".
Note que a segunda equação é 4 vezes a primeira: 24=4\cdot6,\;32=4\cdot8,\;28=4\cdot7,\;36=4\cdot9. Então a segunda é redundante (linearmente dependente da primeira).
Assim restam, essencialmente, duas equações independentes: 6x+8y+7z=9 e 5x+2y=4.
Essas duas não são proporcionais (a segunda não envolve z enquanto a primeira tem coeficiente de z igual a 7), então são independentes.
Consistência:
Podemos até resolver para confirmar consistência: a partir de 5x+2y=4 temos y=(4-5x)/2. Substituindo em 6x+8y+7z=9 dá uma relação entre x e z que admite infinitas soluções paramétricas (uma reta). Portanto é consistente.
Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão da solução é 3-2=1.]
A segunda equação tem coeficiente de y igual a 0; a primeira tem coeficiente de y igual a 24. Não são proporcionais, logo são independentes.
Consistência:
Resolver rapidamente: da segunda, 8x+16z=4 dá 2x+4z=1 (dividindo por 4). Para quaisquer x,z que satisfaçam essa equação existe um y dado pory=\frac{27-18x-21z}{24},portanto sempre existe solução; o sistema é consistente.
Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 3-2=1.]
Passo 8
Nos dois sistemas da alternativa (B) encontramos \operatorname{rank}(A)=2 e consistência, logo ambos têm conjuntos-solução de dimensão 1 (retas). Assim (B) satisfaz a condição pedida.
A terceira equação é 3 vezes a segunda: 21=3\cdot7,\;24=3\cdot8,\;15=3\cdot5. Logo é redundante.
Sobra o par 9x+2y+5z=8 e 7y+8z=5. Essas duas são independentes (uma envolve x enquanto a outra não).
Consistência:
Dado 7y+8z=5 escolhe-se um parâmetro para, digamos, z; então y é determinado, e a primeira equação determina x. Sempre há soluções: consistente.
Conclusão: sistema I de (C) tem \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 1.]
Substituindo em 15x+6y=12 obtém-se 15\cdot1+6y=12\Rightarrow 6y=-3\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=1,\;y=-\tfrac{1}{2} na primeira equação determina z de forma única:24\cdot1+32\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+28z=36
24-16+28z=36 \Rightarrow 28z=28 \Rightarrow z=1.
Conclusão: há exatamente uma solução (x,y,z)=(1,-\tfrac{1}{2},1). Logo \operatorname{rank}(A)=3 (ou equivalentemente sistema impõe três condições independentes) e a dimensão do conjunto-solução é 0, não 1. Assim (C) falha.]
Razões: \dfrac{-15}{25}=-\dfrac{3}{5},\\ \dfrac{-6}{10}=-\dfrac{3}{5},\\ \dfrac{-12}{20}=-\dfrac{3}{5}. Todas iguais, logo a segunda equação é múltiplo da primeira. As equações são dependentes e consistentes.
Conclusão: \operatorname{rank}(A)=1 e dimensão do conjunto-solução é 3-1=2 (um plano), não uma reta. Então (D) já falha nesta parte.]
A terceira é -4 vezes a segunda: -4\cdot(2x+4z)= -8x-16z e -4\cdot1=-4. Logo segunda e terceira são dependentes.
As equações efetivas independentes são a primeira e a segunda; estas não são proporcionais (a primeira tem y presente, a segunda não), então \operatorname{rank}(A)=2.
Conclusão: este sistema tem dimensão 1. Mas como o Sistema I já deu dimensão 2, a alternativa (D) não serve.]
Substituir em 5x+2y=4 dá 5\cdot1+2y=4\Rightarrow 2y=-1\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}.
Substituir x=1,y=-\tfrac{1}{2} na primeira dá z único:6\cdot1+8\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+7z=9\Rightarrow 6-4+7z=9\Rightarrow 7z=7\Rightarrow z=1.
Conclusão: solução única (\operatorname{rank}(A)=3), dimensão 0. Não é reta.]
As duas equações não são múltiplos entre si (por exemplo a razão entre coeficiente de x seria \tfrac{-24}{-10}=2{,}4 enquanto a razão entre coeficiente de y não está definida na segunda porque tem y nulo; não há proporcionalidade global). Assim \operatorname{rank}(A)=2 em geral.
Mesmo que este sistema individualmente pudesse ter dimensão 1, a alternativa E já falhou porque seu primeiro sistema tinha dimensão 0.
Conclusão: (E) não serve.]
Segunda equação não envolve x enquanto a primeira envolve x com coeficiente 36; portanto são independentes.
Consistência:
Pode-se escolher, por exemplo, um parâmetro para z, obter y da segunda equação e então x da primeira; sempre existe solução (consistente).
Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 1.]
Calcule razões: \dfrac{-30}{-24}=\dfrac{5}{4}=1{,}25,\\ \dfrac{-40}{-32}=\dfrac{5}{4},\\ \dfrac{-35}{-28}=\dfrac{5}{4},\\ \dfrac{-45}{-36}=\dfrac{5}{4}. Todas iguais, logo uma equação é múltiplo escalar da outra e são consistentes entre si.
Conclusão: \operatorname{rank}(A)=1 e dimensão 3-1=2. Portanto o Sistema II de (F) tem dimensão 2, não 1.]
Passo 17
Resumindo os resultados por alternativa (apenas para fixar):
(A): sistemas têm dimensões 1 e 2 → não serve.
(B): sistemas têm dimensões 1 e 1 → atende.
(C): sistemas têm dimensões 1 e 0 → não serve.
(D): sistemas têm dimensões 2 e 1 → não serve.
(E): sistemas têm dimensões 0 e 1 → não serve.
(F): sistemas têm dimensões 1 e 2 → não serve.
A única alternativa em que ambos os sistemas têm dimensão 1 é a alternativa (B).